이토 적분
📂확률미분방정식 이토 적분 빌드업 확률적 적분을 생각하기 이전에 아주 중요한 확률 프로세스인 초등 프로세스 elementary process 을 정의하려고 한다. 초등 프로세스란 측도론 에서 르벡 적분을 정의 하기 위해 필요했던 단순 함수 와 비슷한 역할을 한다.
a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b
a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{k} = b
a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b 네츄럴 도메인 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 에서 위와 같은 분할 을 생각해보자. 지시함수 χ \chi χ F t j \mathcal{F}_{t_{j}} F t j e j e_{j} e j ϕ ∈ m 2 [ a , b ] \phi \in m^{2}[a,b] ϕ ∈ m 2 [ a , b ] 초등 프로세스 라 한다.
ϕ ( t , ω ) : = ∑ j = 0 k − 1 e j ( ω ) χ [ t j , t j + 1 ] ( t )
\phi (t,\omega) := \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \chi_{ \left[ t_{j} , t_{j+1} \right] } (t)
ϕ ( t , ω ) := j = 0 ∑ k − 1 e j ( ω ) χ [ t j , t j + 1 ] ( t ) 위너 프로세스 W ( t ) W(t) W ( t ) 구분구적법 의 아이디어 그대로 다음과 같이 생각해볼 수 있다.
∫ a b ϕ ( t , ω ) d W t ( ω ) = ∑ j = 0 k − 1 e j ( ω ) [ W t j + 1 − W t j ] ( ω )
\int_{a}^{b} \phi (t,\omega) d W_{t} (\omega) = \sum_{j=0}^{k-1} e_{j} (\omega) \left[ W_{t_{j+1}} - W_{t_{j}} \right] ( \omega )
∫ a b ϕ ( t , ω ) d W t ( ω ) = j = 0 ∑ k − 1 e j ( ω ) [ W t j + 1 − W t j ] ( ω ) 확률적 적분 stochastic Integral 을 정의한다.
정의 f ∈ m 2 [ a , b ] f \in m^{2} [a,b] f ∈ m 2 [ a , b ] 이토 적분 Itô Integral 을 다음과 같이 정의한다.
∫ a b f ( t , ω ) d W t ( ω ) : = lim n → ∞ ∫ a b ϕ n ( t , ω ) d W t ( ω )
\int_{a}^{b} f (t,\omega) d W_{t} (\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \phi_{n} (t,\omega) d W_{t} (\omega)
∫ a b f ( t , ω ) d W t ( ω ) := n → ∞ lim ∫ a b ϕ n ( t , ω ) d W t ( ω ) 시퀀스 { ϕ n } n ∈ N \left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} { ϕ n } n ∈ N lim n → ∞ E [ ∫ a b ( f ( t , ω ) − ϕ n ( t , ω ) ) 2 d t ] = 0
\lim_{n \to \infty} E \left[ \int_{a}^{b} \left( f (t,\omega) - \phi_{n} (t,\omega) \right)^{2} dt \right] = 0
n → ∞ lim E [ ∫ a b ( f ( t , ω ) − ϕ n ( t , ω ) ) 2 d t ] = 0
설명 정의에서 { ϕ n } n ∈ N \left\{ \phi_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} { ϕ n } n ∈ N E ∫ [ f − ϕ n ] 2 d t → 0 E \int [f-\phi_{n}]^{2} dt \to 0 E ∫ [ f − ϕ n ] 2 d t → 0
기초 성질 f , g ∈ m 2 [ a , b ] f, g \in m^{2} [a,b] f , g ∈ m 2 [ a , b ] 필트레이션 { F t } t ≥ 0 \left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} { F t } t ≥ 0
[1] 가측성: ∫ a b f d W t = ( ∫ a b f d W t ) ( ω ) \displaystyle \int_{a}^{b} f d W_{t} = \left( \int_{a}^{b} f d W_{t} \right) (\omega) ∫ a b fd W t = ( ∫ a b fd W t ) ( ω ) F b \mathcal{F}_{b} F b [2] 선형성: 상수 c c c ∫ a b ( c f + g ) d W t = ∫ a b c f d W t + ∫ a b g d W t
\int_{a}^{b} \left( c f + g \right) d W_{t} = \int_{a}^{b} c f d W_{t} + \int_{a}^{b} g d W_{t}
∫ a b ( c f + g ) d W t = ∫ a b c fd W t + ∫ a b g d W t [3] 가법성: a < c < b a < c < b a < c < b ∫ a b f d W t = ∫ a c f d W t + ∫ c b f d W t
\int_{a}^{b} f d W_{t} = \int_{a}^{c} f d W_{t} + \int_{c}^{b} f d W_{t}
∫ a b fd W t = ∫ a c fd W t + ∫ c b fd W t [4] 정규성 : f f f ω ∈ Ω \omega \in \Omega ω ∈ Ω independent 이면, 다시 말해 f f f deterministic 이면
∫ a b f d W t ∼ N ( 0 , ∫ a b ( f ) 2 d t )
\int_{a}^{b} f d W_{t} \sim N \left( 0, \int_{a}^{b} \left( f \right)^{2} dt \right)
∫ a b fd W t ∼ N ( 0 , ∫ a b ( f ) 2 d t ) [5]: 유계 확률변수 Z Z Z F b \mathcal{F}_{b} F b Z f ∈ m 2 [ a , b ] Z f \in m^{2}[a,b] Z f ∈ m 2 [ a , b ] ∫ a b Z f ( t ) d W t = Z ∫ a b f ( t ) d W t
\int_{a}^{b} Z f (t) d W_{t} = Z \int_{a}^{b} f (t) d W_{t}
∫ a b Z f ( t ) d W t = Z ∫ a b f ( t ) d W t [6] 기대값: 서브 시그마 필드 F a \mathcal{F}_{a} F a E [ ∫ a b f d W t ] = E [ ∫ a b f d W t ∣ F a ] = 0
E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right] = 0
E [ ∫ a b fd W t ] = E [ ∫ a b fd W t ∣ F a ] = 0 f , g f,g f , g E ( ∫ a b f ( t ) d W t ∫ a b g ( t ) d W t ) = E ( ∫ a b f ( t ) g ( t ) d W t )
E \left( \int_{a}^{b} f(t) d W_{t} \int_{a}^{b} g(t) d W_{t} \right) = E \left( \int_{a}^{b} f(t) g(t) d W_{t} \right)
E ( ∫ a b f ( t ) d W t ∫ a b g ( t ) d W t ) = E ( ∫ a b f ( t ) g ( t ) d W t ) [7] 이토 등거리 등식:
E ( ∣ ∫ a b f W t ∣ 2 ) = E ( ∫ a b ∣ f ∣ 2 W t )
E \left( \left| \int_{a}^{b} f W_{t} \right|^{2} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} W_{t} \right)
E ∫ a b f W t 2 = E ( ∫ a b ∣ f ∣ 2 W t ) 조건부 기대값 에도 마찬가지로 적용되어 다음이 성립한다.
E ( ∣ ∫ a b f d W t ∣ 2 ∣ F a ) = E ( ∫ a b ∣ f ∣ 2 d W t ∣ F a ) = ∫ a b E ( ∣ f ∣ 2 ∣ F a ) d W t
E \left( \left| \int_{a}^{b} f d W_{t} \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f \right|^{2} d W_{t} | \mathcal{F}_{a} \right) = \int_{a}^{b} E \left( \left| f \right|^{2} | \mathcal{F}_{a} \right) d W_{t}
E ∫ a b fd W t 2 ∣ F a = E ( ∫ a b ∣ f ∣ 2 d W t ∣ F a ) = ∫ a b E ( ∣ f ∣ 2 ∣ F a ) d W t [8]: f ∈ m 2 f \in m^2 f ∈ m 2 { f n } n ∈ N ⊂ m 2 \left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset m^{2} { f n } n ∈ N ⊂ m 2 n → ∞ n \to \infty n → ∞ E [ ∫ a b ( f n − f ) 2 d t ] → 0
E \left[ \int_{a}^{b} \left( f_{n} - f \right)^{2} dt \right] \to 0
E [ ∫ a b ( f n − f ) 2 d t ] → 0 n → ∞ n \to \infty n → ∞ L 2 \mathcal{L}_{2} L 2 ∫ a b f n W t → ∫ a b f W t
\int_{a}^{b} f_{n} W_{t} \to \int_{a}^{b} f W_{t}
∫ a b f n W t → ∫ a b f W t F t \mathcal{F}_{t} F t F \mathcal{F} F Ω \Omega Ω 시그마 필드 이되, F t ⊂ F \mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F} F t ⊂ F f f f F t \mathcal{F}_{t} F t 보렐 셋 B ∈ B ( [ 0 , ∞ ) ) B \in \mathcal{B}([0,\infty)) B ∈ B ([ 0 , ∞ )) f − 1 ( B ) ∈ F t f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t} f − 1 ( B ) ∈ F t 