📂행렬대수

행렬의 연산: 상수배, 덧셈, 곱셈

상수배

크기가 $m \times n$인 임의의 행렬 $A$와 상수 $k$의 곱은 $A$의 각 성분에 $k$를 곱하는 것으로 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ kA = k\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} := \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$

정의에 의해 상수와 행렬의 곱은 교환 관계가 성립한다. 다만 대개는 상수를 앞에 적는다.

$$ kA = Ak $$

덧셈

크기가 $m \times n$인 두 행렬 $A$, $B$의 덧셈은 같은 행, 열에 있는 성분끼리 더하는 것으로 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \begin{align*} A+B &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} \\ &:=\begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} \end{align*} $$

정의를 보면 알 수 있듯이 두 행렬 사이의 덧셈은 같은 크기의 행렬끼리에서만 정의되며, 교환 관계가 성립한다.

$$ A+B=BA $$

곱셈

행렬에 상수를 곱하는 것이나 두 행렬을 더하는 것은 직관적으로 잘 받아들여지겠지만 곱셈의 경우는 조금 다르다. 우선 행 벡터와 열 벡터의 곱부터 살펴보자.

크기가 $1\times n$인 행 벡터 $A=\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}$와 크기가 $n \times 1$인 열벡터 $B= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$의 곱을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} AB =\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} &:= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} + \cdots +a_{n}b_{n} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \end{align*} $$

위 정의를 말로 풀어서 쓰면 ‘같은 순서에 있는 성분끼리 곱한 것들의 합’인데 이는 다름이 아니라 고등학교에서 배운 두 벡터의 내적과 개념적으로 같다.

$$ \begin{align*} \vec{a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}) \\ \vec{b} &= (b_{1},b_{2},b_{3}) \end{align*},\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} $$

두 행렬의 곱은 이러한 개념의 확장으로 생각할 수 있다. $m\times n$ 행렬 $A$와 $m\times k$ 행렬 $B$의 곱을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} AB &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nk} \end{bmatrix} \\ &:= \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} a_{1i}b_{i1} & \sum_{i=1}^{n} a_{1i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{n} a_{1i}b_{ik} \\ \sum_{i=1}^{n} a_{2i}b_{i1} & \sum_{i=1}^{n} a_{2i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{n} a_{2i}b_{ik} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} a_{mi}b_{i1} & \sum_{i=1}^{n} a_{mi}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^{n} a_{mi}b_{ik} \end{bmatrix} \end{align*} $$

수식이 길어 어려워 보이겠지만 행 벡터와 열 벡터의 곱을 여러번 한 것 뿐이다. $A$와 $B$의 곱으로 얻어지는 행렬 $AB$의 $n$행, $k$열 성분은 $A$의 $n$행과 $B$의 $k$열의 내적과 같다. 따라서 $A$의 열의 수와 $B$의 행의 수가 같아야 둘 사이의 곱셈이 정의된다. 또한 두 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않는다.

$$ AB \ne BA $$

이는 간단한 예로도 확인할 수 있다.$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$라고하면

$$ \begin{align*} AB &=\begin{bmatrix} 2+1 & -1+1 \\ 0+1 & 0+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ BA &=\begin{bmatrix} 2+0 & 2-1 \\ 1+0 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \end{align*} $$

따라서

$$ AB\ne BA $$

행렬의 곱셈 과정을 시각적으로 표현하면 다음과 같다.

성질¹

$A$, $B$, $C$를 임의의 $m \times n$ 행렬이라고 하자. $r$, $s$를 임의의 상수라고 하자. 행렬 연산에 대해서 다음의 성질이 성립한다.

(a) 덧셈에 대한 교환 법칙: $A + B = B + A$

(b) 덧셈에 대한 결합 법칙: $A + (B + C) = (A + B) + C$

(c) $(r + s)A = rA + sA$

(d) $r(A + B) = rA + rB $

(e) $(rs)A = r(sA)$

$A$, $B$, $C$를 임의의 $n\times n$행렬이라고 하자.

(f) 곱셈에 대한 결합 법칙: $A(BC) = (AB)C$

(g) 곱셈에 대한 분배 법칙 $A(B+C) = AB + AC \quad \& \quad (A+B)C=AC + BC$

행렬 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않음을 다시 한 번 주의하자.