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힐베르트 공간에서 일반화된 푸리에 계수, 푸리에 급수 📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서 일반화된 푸리에 계수, 푸리에 급수

정의1

HH힐베르트 공간, {uα}αA\left\{ u_{\alpha} \right\}_{\alpha\in A}HH정규직교 시스템이라고 하자. 그러면 고정된 xHx\in H에 대해서 복소 함수 x^:AC\hat{x} :A\to \mathbb{C}를 다음과 같이 정의하자.

x^(α)=x,uα \hat{x}(\alpha)=\left\langle x,u_{\alpha} \right\rangle

이때 위의 값들을 가리켜 xx{uα}\left\{ u_{\alpha} \right\}에 대한 푸리에 계수Fourier coefficients 라고 한다.

설명

x=fx=f, {uα}={einx}\left\{ u_{\alpha} \right\}=\left\{ e^{-i n x} \right\}라고 하면 x^(α)\hat{x}(\alpha)는 흔히 알고 있는 복소 푸리에 계수가 된다.

x^(α)=cn=12πππf(x)einxdx \hat{x}(\alpha)=c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx

또한 유한 차원 힐베르트 공간은 다음의 정리가 성립한다. 이때 정리 (a)의 (2)(2)는 유한 차원 힐베르트 공간에 대한 피타고라스 정리, (4)(4)는 유한 차원 힐베르트 공간에 대한 베셀 부등식이다.

정리 (b)에서 정의되는 유한합 sF(x)s_{F}(x)xx푸리에 급수Fourier series라고 한다.

(3)(3)sF(x)s_{F}(x)MFM_{F}에서 xx에 대한 unique best approximaiton이라는 것을 말해준다.

정리

x^\hat{x}HH선형 범함수, 즉 HH듀얼의 원소이다.

{uα}αA\left\{ u_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}힐베르트 공간 HH정규직교 집합, FFAA의 유한 부분 집합이라고 하자. 그리고 MF=span{uα:αF}M_{F}=\text{span} \left\{ u_{\alpha} : \alpha \in F \right\}라고 하자.

(a) 아래와 같은 yMFy\in M_{F}가 존재한다.

y=αFy^(α)uα=αFy,uαuα \begin{equation}\begin{aligned} y&=\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha)u_{\alpha} \\ &=\sum \limits_{\alpha \in F}\left\langle y,u_{\alpha} \right\rangle u_{\alpha} \end{aligned} \end{equation}

또한 다음이 성립한다.

y2=αFy^(α)2 \begin{equation} \left\| y \right\|^{2} = \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{y}(\alpha) \right|^{2} \end{equation}

(b) xHx\in H이고 sF(x)=αFx^(α)uαs_{F}(x)=\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha}라고 하자. 그러면 sFs_{F}를 제외한 모든 sMFs\in M_{F}에 대해서 다음이 성립한다.

xsF(x)<xs \begin{equation} \left\| x-s_{F}(x) \right\| < \left\| x-s \right\| \end{equation}

그리고

αFx^(α)2x2 \begin{equation} \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{x}(\alpha) \right|^{2} \le \left\| x \right\|^{2} \end{equation}

증명

(a)

(1)(1)MFM_{F}의 정의에 의해 당연하고, (2)(2)직교성에 의해 쉽게 알 수 있다.

y2= y,y= αFy^(α)uα,αFy^(α)uα= y^(α1)uα1++y^(αk)uαk,y^(α1)uα1++y^(αk)uαk= y^(α1)2uα1,uα1++y^(αk)2uαk,uαk= αFy^(α)2 \begin{align*} \left\| y \right\|^{2} =&\ \left\langle y,y \right\rangle \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha) u_{\alpha},\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha) u_{\alpha} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \hat{y}(\alpha_{1}) u_{\alpha_{1}}+ \cdots + \hat{y}(\alpha_{k}) u_{\alpha_{k}} , \hat{y}(\alpha_{1}) u_{\alpha_{1}}+ \cdots + \hat{y}(\alpha_{k}) u_{\alpha_{k}} \right\rangle \\ =&\ \left| \hat{y}(\alpha_{1}) \right|^{2}\left\langle u_{\alpha_{1}},u_{\alpha_{1}} \right\rangle + \cdots + \left| \hat{y}(\alpha_{k}) \right|^{2}\left\langle u_{\alpha_{k}},u_{\alpha_{k}} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{y}(\alpha) \right|^{2} \end{align*}

(b)

우선 sF(x)s_{F}(x)를 간단히 sFs_{F}라고 나타내기로 하자. 그러면 {uα}\left\{ u_{\alpha} \right\}가 정규직교 집합이므로,

sF^(α)=αFx^(α)uα,uα=x^(α)αF \hat{s_{F}}(\alpha)=\left\langle \sum \limits_{\alpha \in F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha},u_{\alpha} \right\rangle=\hat{x}(\alpha)\quad \forall \alpha \in F

가 성립한다. 이는 αF\alpha\in F에 대해서, (xsF)uα(x-s_{F})\perp u_{\alpha}임을 뜻한다. 그러면 s,sFMFs,s_{F}\in M_{F}이므로 (xsF)(sFs)(x-s_{F})\perp (s_{F}-s)가 성립한다. 따라서

xs2=(xsF)+(sFs)2=xsF2+sFs2 \left\| x-s \right\| ^{2} = \left\| (x-s_{F})+(s_{F}-s) \right\| ^{2}=\left\| x-s_{F} \right\| ^{2}+\left\| s_{F}-s \right\| ^{2}

가 성립하고 이로부터 (3)(3)가 성립한다. 또한 위 식에 s=0s=0을 대입하면,

x2=xsF2+sF2 \left\| x \right\| ^{2} = \left\| x-s_{F} \right\| ^{2}+\left\| s_{F} \right\| ^{2}

를 얻으므로 이로부터

sF2x2 \left\| s_{F} \right\| ^{2}\le \left\| x \right\| ^{2}

를 얻으므로

αFx^(α)2=sF2x \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{x}(\alpha) \right|^{2}=\left\| s_{F} \right\|^{2} \le\left\| x \right\|


  1. Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd Edition, 1987), p82-83 ↩︎