📂해석개론

부분적분법

정리 ¹

$F$, $G$가 구간 $[a,b]$에서 미분가능하고, $F^{\prime}=f$, $G^{\prime}=g$가 적분가능하다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} \int _{a} ^{b} F(x)g(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \\ &= \left[ F(x)G(x) \right]_{a}^{b} -\int _{a} ^{b}f(x)G(x)dx \end{align*}$$

설명

이 결과를 부분적분법이라 부른다. 그적미적^{[그대로 적분]- $\int$ 미분 적분}으로 외우면 쉽다. $F^{\prime} = f$, $G^{\prime} = g$라고 할 때,

$$\big[ (F\text{를 그대로 적고}) (g\text{를 적분해서 적고}) \big] - \int (F\text{를 미분해서 적고}) (g\text{를 적분해서 적고}) dx$$

$$\begin{align*} \implies \int Fg &= \left[ FG \right] - \int fG \\ &= \left[ \textbf{그}\text{대로}\cdot\textbf{적}\text{분} \right] - \int \textbf{미}\text{분}\cdot\textbf{적}\text{분} \end{align*}$$

증명

미분가능하면 연속이고, 연속이면 적분가능하므로 $F, G$도 적분 가능하다. 이제 $H(x)=F(x)G(x)$라고 하자. 그러면 곱의 미분법에 의해 다음이 성립한다.

$$H^{\prime}(x)=F(x)g(x)+f(x)G(x)$$

적분은 선형이고, 함수의 곱은 적분가능성을 보존하므로, $H^{\prime}$는 적분가능하다. 그러면 미분적분학의 기본정리2에 의해서 $H^{\prime}$의 정적분은 다음과 같이 계산된다.

$$\begin{align*} && \int _{a} ^{b}H^{\prime}(x)dx &= H(b)-H(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}H^{\prime}(x)dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x) + f(x)G(x) dx &= F(b)G(b)-F(a)G(a) \\ \implies && \int _{a} ^{b}F(x)g(x)dx &=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int _{a} ^{b}f(x)G(x) \end{align*}$$

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