📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。$1 \le p < \infty$であり$u, v \in L^{p}(\Omega)$ならば、

$$ \left\| u + v \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

これをミンコフスキーの不等式^{minkowski inequality}という。

説明

$\left\| \cdot \right\|_{p}$が三角不等式を満たしてノルムとなり、$L^{p}$空間がノルム空間になるという意味を持つ。$p \ge 1$に対して成立するという点に注意しよう。

証明

$p=1$の場合には、積分の性質によって自明に成立する。

$$ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| dx \le \int_{\Omega} \left| u(x) \right| dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| dx $$

$1 \lt p \lt \infty$とする。$w$を$w \ge 0$であり$\left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1$である関数とする。

ヘルダーの不等式

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$である$1 \le p, p^{\prime} < \infty$に対して、もし$u \in L^p(\Omega)$、$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ならば

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

すると、ヘルダーの不等式により次が成立する。

$$ \begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx \le & \int_{\Omega} \left| u(x) \right| w(x) dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| w(x) dx \\ \le & \left\| u \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} + \left\| v \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \\ \le & \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} \end{align*} $$

したがって、次の式が成立する。

$$ \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$

ヘルダーの不等式の逆: $L^{p}$関数であるための十分条件

$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$が成立すれば、 $$ u\in L^{p}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{p} = \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} $$

上の定理により、

$$ \left\| u + v \right\|_{p} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$

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関連リンク

• ユークリッド空間におけるミンコフスキーの不等式