📂양자역학

컴프턴 산란

공식

$\lambda$를 입사하는 빛의 파장, $\lambda^{\prime}$을 산란된 광자의 파장이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ \lambda^{\prime} -\lambda = \frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta) $$

이때 $h$는 플랑크 상수, $m_{e}$는 전자의 질량, $c$는 빛의 속도, $\theta$는 산란각이다. 에너지에 대해서 나타내면

$$ \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E} $$

설명

컴프턴 산란¹은 X선이 전자와 만났을 때 X선과 전자가 튕겨져 나가는 현상을 말한다. 이때 산란된 X선은 파장이 길어지는데 에너지의 관점으로 말하자면 에너지가 줄어드는 것이다. 이는 X선 즉, 빛이 입자의 성질을 지니고 있다는 증거가 된다.

$ \lambda ^{\prime}-\lambda=\dfrac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta) > 0$이므로 충돌 후 빛의 파장이 더 길어진다. 이는 실험 결과와 잘 들어맞고 빛이 입자의 성질을 지님을 뒷받침해준다.

유도

전략: 운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙을 사용하여 결과를 이끌어낸다.

$\mathbf{p}_\gamma$는 충돌 전 광자의 운동량, $\mathbf{p}_{e}$는 충돌 전 전자의 운동량, $\mathbf{p}_\gamma^{\prime}$은 충돌 후 광자의 운동량, $\mathbf{p}_{e}^{\prime}$은 충돌 후 전자의 운동량이라고 하자.

Part 1. 운동량 보존 법칙

$$ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}+\mathbf{p}_{e}^{\prime} $$

충돌 후의 전자에 대해서는 정보가 없으므로 $\mathbf{p}_{e}^{\prime}$에 대해서 정리하자.

$$ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}=\mathbf{p}_{e}^{\prime} $$

충돌 전 전자는 정지상태 이므로 $\mathbf{p}_{e}=0$이다.

$$ \begin{align*} &&(\mathbf{p}_{\gamma}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime})^2&=(\mathbf{p}_{e}^{\prime})^2 \\ \implies &&(p_\gamma)^2 +(p_\gamma^{\prime})^2-2 \mathbf{p}_{\gamma} \cdot \mathbf{p}_{\gamma}^{\prime} &=(p_{e}^{\prime})^2 \end{align*} $$

광자의 정지질량은 $0$이므로 $ p_\gamma=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}$이고 이를 대입하면

$$ \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta=(p_{e}^{\prime})^2\tag{1} $$

Part 2. 에너지 보존 법칙

이제 $E_\gamma$는 충돌 전 광자의 에너지, $E_{\gamma}^{\prime}$은 충돌 후 광자의 에너지, $E_{e}$는 충돌 전 전자의 에너지, $E_{e}^{\prime}$은 충돌 후 전자의 에너지라고 하자. 그러면

$$ \begin{align*} && E_{\gamma}^{\prime}+E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e} \\ \implies && E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime} \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime})^2 \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma)^2+(E_{e})^2+(E_{\gamma}^{\prime})^2+2E_\gamma E_{e}-2E_\gamma E_{\gamma}^{\prime}-2E_{e}E_{\gamma}^{\prime} \end{align*} $$ 광자의 에너지는 $E=h\nu$이고 상대론적 에너지는 $ E=\sqrt{(mc^2)^2+p^2c^2}$이므로 $$ h^2\nu^2+m_{e}^2c^4+h^2{\nu^{\prime}}^{2}+2h\nu m_{e}c^2-2h^2\nu\nu^{\prime}-2m_{e}c^2h\nu^{\prime}=m_{e}c^4+(p_{e}^{\prime})^2c^2 $$ $(p_{e}^{\prime})^2$에 대해서 정리하면 $$ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}=(p_{e}^{\prime})^2 \tag{2} $$

Part 3. $(1)$과 $(2)$에 의해서

$$ \begin{align*} && \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta&=\ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta& =2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && 2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \\ \implies && (\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{h}{m_{e}}\frac{\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \end{align*} $$

양변에 $\nu\nu^{\prime}$을 나눠주고 c를 곱하면

$$ \frac{c}{\nu^{\prime}}-\frac{c}{\nu}=\frac{h}{m_{e}}\frac{1}{c}(1-\cos\theta) $$

$\displaystyle \lambda=\frac{c}{\nu}$이므로

$$ \lambda ^{\prime}-\lambda=\frac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta) $$

$E=h\nu=\dfrac{ hc }{ \lambda }$이므로 위 식을 잘 정리하면

$$ \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E} $$

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