📂상미분방정식

지수성장방정식/상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

방정식

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \tag{1}$$

위와 같이 상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$y=Ae^{\alpha x}$$

이때 $A$는 상수이다.

설명

지수 성장 방정식^{exponential growth equation}이라고도 불리리는데, 해가 지수함수이고 인구가 성장하는 현상을 모델링하는데 사용되기 때문이다.

한 번 미분했을 때 자기 자신과 같은 함수가 무엇인지 생각해보면 왜 지수 함수가 답인지 알 수 있을 것이다.

풀이

$(1)$을 변수분리하면 다음과 같다.

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \implies \dfrac{1}{y} dy = \alpha dx$$

양 변을 적분하면, 로그함수의 미분법에 의해 아래와 같다.

$$\ln y = a x + C$$

이때 $C$는 적분 상수이다. 마지막으로 양변에 지수함수를 취하면,

$$y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x}$$

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