상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식
정리
$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$
의 일반해는
$$ y=Ae^{\alpha x} $$
이다. 이때 $A$는 상수이다.
설명
한 번 미분했을 때 자기 자신과 같은 함수가 무엇인지 생각해보면 왜 지수 함수가 답인지 알 수 있을 것이다.
증명
$$ \frac{ d y}{ d x}=\alpha y $$
에서 변수 분리를 해주면
$$ \frac{ 1 }{ y }dy=\alpha dx $$
양 변을 적분하면
$$ \ln y=ax+C $$
이때 $C$는 적분 상수이다. $y$의 로그를 벗겨내면
$$ y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x} $$
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