패러티 연산자
정의
다음과 같이 정의된 연산자 $P$를 패러티 연산자parity operator라고 한다.
$$ P\psi (x) = \psi (-x) $$
설명
파동함수의 위치 변수를 대칭이동 시키는 연산자이다.
패러티 연산자 $P$는 양자역학에서 축퇴된 두 고유함수를 구별하는데 쓰이는 연산자이다. 다음과 같이 축퇴된 두 파동함수가 있다고 하자.
$$ \psi_{1}(x)=e^{ikx},\quad \psi_{2}(x)=e^{-ikx} $$
그러면 에너지 연산자 $H$에 대한 고유값 방정식을 풀어서는 두 파동함수를 구분할 수 없다.
$$ H\psi_{1} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_{1} \\[1em] H\psi_2 = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_2 $$
이제 다음과 같이 두자.
$$ u_{+}(x)=\psi_{1}(x) +\psi_{2}(x) \\[1em] u_{-}(x)=\psi_{1}(x)-\psi_{2}(x) $$
그러면 패러티 연산자에 대한 고유값이 각각 $+1$과 $-1$로 다르게 나와 두 함수를 구별할 수 있게 된다.
$$ \begin{align*} Pu_{+} &= e^{-ikx}+e^{ikx} =u_{+} \\ Pu_{-} &= e^{-ikx}-e^{ikx} =-u_{-} \end{align*} $$
한편 패러티 연산자의 정의에 의해 파동함수는 절대 패러티 연산자의 고유함수가 될 수 없다는 것을 알 수 있다. 반면에 파동함수는 $P^{2}$의 고유함수이고 고유값은 $1$임을 보일 수 있다.
성질
$$ P^{2} \psi (x) = \psi (x) $$
증명
$$ P^{2}\psi (x)=P(P\psi (x))=P\psi (-x)=\psi (x) $$
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