📂정수론

셀버그 항등식 증명

정리 ¹

$$ \Lambda (n) \log n + \sum_{d \mid n } \Lambda (d) \Lambda \left( {{ n } \over { d }} \right) = \sum_{d \mid n} \mu (d) \log^{2} {{ n } \over { d }} $$

증명

전략: 보이는 것만큼 어렵지 않다. 산술함수의 미분만 있다면 아주 간단하게 유도할 수 있다.

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망골트 급수: $$ \sum_{d \mid n} \Lambda ( d ) = \log n $$

산술 함수의 미분의 정의에 따라 망골트 급수는 컨볼루션을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \Lambda \ast\ u = 1 \cdot \log n = u \log n = u ' $$ 양변을 미분하면 곱의 미분법에 따라 $$ \Lambda’ \ast\ u + \Lambda \ast\ u ' = u '' $$ $\Lambda \ast\ u = u '$ 이었으므로 $$ \Lambda’ \ast\ u + \Lambda \ast\ (\Lambda \ast\ u) = u '' $$ 뫼비우스 함수 $\mu$ 는 유닛 함수 $u$ 의 인버스이므로 양변에 $\mu$ 를 곱하면 $$ \Lambda ’ + \Lambda^{2} = u '' \ast\ \mu $$

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