📂위상수학

위상공간과 부분공간에서 내부에 대한 여러 성질

정리

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 부분집합 $A,B,A_{\alpha}\subset X\ (\alpha \in \Lambda)$가 주어졌다고 하자. 그러면

• $(a1)$: $A\subset B$이면 $A^{\circ} \subset B^{\circ}$이다.
• $(b1)$: $A^{\circ}\cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$
• $(c1)$: $A^{\circ} \cap B^{\circ} = (A\cap B)^{\circ}$
• $(d1)$: $(\cap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha})^{\circ} \subset \cap _{\alpha \in \Lambda} A_{\alpha}^{\circ}$

부분공간에 대한 내부

똑같은 집합이라도 전체공간이 어떻게 주어지는가에 따라서 열린집합이 될 수도 있고 안 될 수도 있다. 따라서 그 의미를 명확하게 하기 위해서 아래와 같은 표기를 사용한다.

위상공간 $X$, 부분공간 $A$, 부분집합 $B$가 $B\subset A\subset X$와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 $\mathrm{int}_{X}(B)$는 위상공간 $X$에서의 $B$의 내부를 의미한다. $\mathrm{int}_{A}(B)$는 부분공간 $A$에서의 $B$의 내부를 의미한다. 또한 아래의 두 성질이 성립한다.

• $(a2)$: $\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{A}(B)$
• $(b2)$: $\mathrm{int}_{X}(B)=\mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B)$

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• $A^{\circ}$은 집합 $A$의 내부를 나타낸다.

증명

$(a1)$

$x \in A^{\circ}$이라고 하자. 그러면 내부의 정의에 의해 $x \in U \subset A$를 만족하는 열린집합이 존재한다. 가정에 의해 $x\in U \subset A \subset B$이므로 $x\in B^{\circ}$이다.

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$(b1)$

$A \subset A\cup B$이고 $B\subset A\cup B$이므로 $(a)$에 의해서 $A^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$, $B^{\circ} \subset (A \cup B)^{\circ}$이 성립한다. 따라서 $A^{\circ}\cup B^{\circ} \subset (A\cup B)^{\circ}$

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$(c1)$

$(\subset)$

$x\in A^{\circ} \cap B^{\circ}$이라고 하자. 그러면 $x \in A^{\circ}$, $x\in B^{\circ}$이다. 따라서 $x\in U \subset A$, $x\in V \subset B$를 만족하는 열린집합 $U,V$가 존재한다. 열린집합의 교집합도 열린집합이고 $x\in (U\cap V) \subset (A\cap B)$이므로 $x\in (A\cap B)^{\circ}$이다.

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$(\supset)$

$A\cap B \subset A$, $A \cap B \subset B$이므로 $(a)$에 의해 $(A \cap B)^{\circ} \subset A^{\circ}$, $(A \cap B ) ^{\circ} \subset B^{\circ}$이다. 따라서 $(A\cap B)^{\circ} \subset A^{\circ}\cap B^{\circ}$이 성립한다.

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$(d1)$

$E=\cap_{\alpha\in\Lambda} A_{_\alpha}$라고 하자. 그러면 모든 $\alpha$에 대해서 $E \subset A_{\alpha}$이다. 그러면 $(a)$에 의해 모든 $\alpha$에 대해 $E^{\circ} \subset A_{\alpha}^{\circ}$이다. 따라서 $(\cap _{\alpha \in \Lambda }A_{\alpha})^{\circ}=E^{\circ} \subset \cap_{\alpha \in \Lambda}A_{\alpha} ^{\circ}$

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$(a2)$

$x\in \mathrm{int}_{X}(B)$라고 하자. 그러면 내부점의 정의에 의해 $x \in U \subset B$를 만족하는 $X$에서 열린집합 $U$가 존재한다. 그러면 $U \subset B \subset A$이고 $U=A\cap U$를 만족하는 $X$에서 열린 집합 $U$가 존재하므로 , 부분공간에서 열린집합일 동치조건¹에 의해, $U$는 부분공간 $A$에서 열린집합이다. 따라서 $x\in U \subset B$를 만족하는 $A$에서 열린집합 $U$가 존재하므로 $x \in \mathrm{int}_{A}(B)$

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$(b2)$

$( \subset )$

$B\subset A$이므로 $(a1)$에 의해서 $\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{X}(A)$이다. 또한 $(a2)$에 의해 $\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{A}(B)$이므로 $$\mathrm{int}_{X}(B) \subset \mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B)$$

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$( \supset )$

$x \in \mathrm{int}_{X}(A) \cap \mathrm{int}_{A}(B)$라고 하자. 그러면 $x \in U \subset A$, $x \in V \subset B$를 만족하는 $X$에서 열린집합 $U$와 $A$에서 열린집합 $V$가 존재한다. $V$가 $A$에서 열린 집합이므로, 부분공간에서 열린집합일 동치조건²에 의해, $V=A\cap U^{\prime}$를 만족하는 $X$에서 열린집합 $U^{\prime}$가 존재한다. 그러면 $X$에서 열린집합 $U\cap U^{\prime}$에 대하여 $$x\in U\cap U^{\prime} \subset A\cap U^{\prime} =V \subset B$$ 이므로 내부점의 정의에 의해 $x\in \mathrm{int}_{X}(B)$

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