📂다변수벡터해석

n차원 유클리드 공간에서 두 벡터 사이의 각도

정의¹

$n$차원 벡터공간의 두 벡터 $\mathbf{v}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서, 두 벡터 사이의 각도란 다음을 만족하는 $\theta$로 정의한다.

$$ \cos \theta = \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \tag{1} $$

이때 $\cdot$은 내적이다.

설명

2차원 혹은 3차원의 경우에는 벡터를 화살표로 시각화할 수 있기 때문에 「두 벡터 사이의 각도」라는 개념을 직관적으로 이해할 수 있고, 기하학적으로 표현할 수 있다. 그래서 두 벡터 $\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$와 $\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$의 내적을 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = v_{1}u_{1} + v_{2}u_{2} + v_{3}u_{3}$라고 정의했을 때 다음의 수식이 성립한다는 것을 (코사인 제2법칙을 써서) 정리^theorem로써 보일 수 있었다.

$$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| \cos \theta \tag{2} $$

하지만 $4$차원 이상의 벡터공간에서는 벡터를 우리가 이해하기 쉽도록 시각화하고 기하학적으로 표현하는 것이 불가능하기 때문에, 두 벡터 사이의 각도라는 개념을 말하는 것 자체가 어렵다. 그래서 $n(\ge 4)$차원 벡터공간에서 두 벡터 사이의 각도는 $(2)$를 이용하여 정의된다. 즉 $4$차원 이상에서는 $(2)$가 정리로써 성립하는 것이 아니라, 정의 그 자체이다. 이렇게 정의하면 $(2)$가 2차원, 3차원 뿐만 아니라 임의의 차원에 대해서도 성립하게 되니 자연스러운 일반화라고 볼 수 있다.

잘 정의됨

$(1)$을 다시 적어보면 다음과 같다.

$$ \theta := \cos^{-1} \left( \dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \right) $$

그런데 알다시피 코사인 함수의 역함수는 정의역에 주의해야 한다. $\cos^{-1}$의 정의역과 치역은 다음과 같다.

$$ \cos^{-1} : [-1, 1] \to [0, \pi] $$

따라서 모든 $\mathbf{v}, \mathbf{u}$에 대해서 $\set{ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} / \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| } \subset [-1, 1]$가 성립해야하고 코시-슈바르츠 부등식에 의해 실제로 그러하다.

$$ |\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}| \le \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| \implies \dfrac{| \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} |}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \le 1 \implies -1 \le \dfrac{ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} }{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|} \le 1 $$

즉 $(1)$이 잘 정의된다는 것을 알 수 있다.

직교성

두 벡터 사이의 각도를 정의했으므로 이제 직교성^{orthogonality}에 대해서 얘기할 수 있다. 다음의 식이 성립하면 두 $n$차원 벡터 $\mathbf{v}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$가 직교한다고 한다.

$$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0 $$

이 또한 $3$차원에서는 정리로써 성립함을 보일 수 있었지만, $n(\ge 4)$차원에서는 정의이다.

참고로 수직^{perpendicular}이라는 말은 좀 더 직관적이고 기하학적인 느낌을 가지며 주로 2차원이나 3차원에서 시각적으로 직각을 이루는 상황에서 주로 사용된다. 반면 직교^orthogonal라는 말은 좀 더 추상적인 느낌을 가지며 $n$차원, 혹은 무한차원 벡터공간에서 주로 사용된다.