확률론에서의 레비 정리 증명
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 가 주어져있다고 하자.
$\eta$ 가 적분 가능한 확률 변수고 $\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}$ 인 시그마 필드의 시퀀스면 $n \to \infty$ 일 때 $$ E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \to E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) $$
- $\displaystyle \mathcal{F}_{\infty} = \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n}$ 는 텐서 곱이 아니라 $\mathcal{F}_{n}$ 들의 모든 원소들을 포함하면서 가장 작은 시그마 필드를 의미한다. 그다지 새로울 것은 없는 게, 사실 위상 공간 $\Omega$ 의 모든 열린 집합을 포함하면서 가장 작은 시그마 필드를 보렐 시그마 필드라고 해왔다. 그래도 어렵다면 그냥 필트레이션의 조건을 만족하는 시그마 필드로 받아들여도 무방하다.
설명
측도론에서의 레비 정리와 달리 피적분 함수는 가만히 있고 시그마 필드가 넓어지는데, 그 본질은 크게 다르지 않다.
레비의 0-1 법칙
레비 정리는 레비의 0-1 법칙lévy’s zero–one law으로도 불리는데, 이는 사건 $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ 의 조건부확률 $P \left( A | \mathcal{F}_{\infty} \right) = E \left( 1_{A} | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 은 $n \to \infty$ 일 때 거의 확실히 $$ P \left( A | \mathcal{F}_{n} \right) \to 1_{A} \in \left\{ 0 , 1 \right\} $$ 즉 $0$ 아니면 $1$ 기 때문이다. 직관적으로 보자면 $\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}$ 를 만족하면서 커진다는 것, 시그마필드의 필트레이션이라는 것은 $n$ 이 커지면서 정보의 양이 많아진다는 것이고 그에 따라 사건 $A$ 가 발생하는지 않는지가 $0$과 $1$로 확실해진다는 것이다1.
증명
전략: 딘킨의 파이-람다 정리와 확률과정론에서 레귤러 마틴게일의 성질을 끌어와야한다. 주의할 점으로, 가정에서 $\eta$ 는 단지 적분가능한 확률변수로 주어졌을 뿐 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이 아니므로 모든 $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ 에 대해 $\int_{A} X_{\infty} dP = \int_{A} \eta dP$ 라고 해서 거의 확실히 $X_{\infty} = \eta$ 라는 식의 주장을 할 수 없다. 물론 조건부 기대값의 성질에서 $E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 는 $\eta$ 가 무엇이든 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이고, 실제로 보일 등식 역시 $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 가 된다.
Claim: $X_{n} : = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 과 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측인 확률 변수 $\displaystyle X_{\infty} := \lim_{n \to \infty} X_{n}$ 을 정의하자. $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 를 보이면 된다.
Part 1. $E(X_{\infty} | \mathcal{F}_{n}) = X_{n}$
$X_{n}$ 의 정의에 따라 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 레귤러 마틴게일이다. 따라서 균등적분가능 마틴게일이고, $\mathcal{L}_{1}$ 수렴 마틴게일이 되어 $X_{n}$ 은 $X_{\infty}$ 로 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴한다. 또한 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 클로저블 마틴게일이므로 $E(X_{\infty} | \mathcal{F}_{n}) = X_{n}$ 을 얻는다.
이제 딘킨의 파이-람다 정리를 사용하기 위해 다음의 정의를 소개한다.
- 다음을 만족하는 $\mathcal{P}$ 을 $\pi$-시스템이라고 한다. $$ A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P} $$
- 다음의 조건들을 만족하는 $\mathcal{L}$ 을 $\lambda$-시스템이라고 한다.
- (i): $\emptyset \in \mathcal{L}$
- (ii) $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
- (iii) 모든 $i \ne j$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ 일 때 $$\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$$
Part 2. $\displaystyle \mathcal{L} := \left\{ A \in \mathcal{F} : \int_{A} X_{\infty} dP = \int_{A} \eta dP \right\}$ 은 람다 시스템
Part 2-(i). $\emptyset \in \mathcal{L}$
- 공집합 공리에 따라 $\emptyset \in \mathcal{L}$ 은 자명하다.
Part 2-(ii). $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
- 위의 Part 1에서 $E(X_{\infty} | \mathcal{F}_{n}) = X_{n}$ 이었으므로 조건부 기대값의 정의에 따라 $$ \begin{align*} \int_{\Omega} X_{\infty} dP =& \int_{\Omega} E ( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} ) dP \\ =& \int_{\Omega} X_{n} dP \\ =& \int_{\Omega} E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{\Omega} \eta dP \end{align*} $$ 이므로 $\Omega \in \mathcal{L}$ 이고, $\mathcal{L}$ 의 정의에 따라 $A \in \mathcal{L}$ 이면 $$ \begin{align*} \int_{A^{c}} X_{\infty} dP =& \int_{\Omega} X_{\infty} dP - \int_{A} X_{\infty} dP \\ =& \int_{\Omega} \eta dP - \int_{A} \eta dP \\ =& \int_{A^{c}} \eta dP \end{align*} $$ 이러한 계산은 확률 측도 $P$ 가 유한 측도이므로 $\infty - \infty$ 와 같은 경우를 배제하였기 때문에 가능한 것을 명심하자. 계산에 따라 $A^{c} \in \mathcal{L}$ 이고, 정리하면 $$ A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L} $$
Part 2-(iii). 모든 $i \ne j$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ 일 때 $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$
- $$\begin{align*} \int_{\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_{i}} X_{\infty} dP =& \sum_{i=1}^{\infty} \int_{A_{i}} X_{\infty} dP \\ =& \sum_{i=1}^{\infty} \int_{A_{i}} \eta dP \\ =& \int_{\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_{i}} \eta dP \end{align*}$$
Part 3. $\displaystyle \mathcal{P} := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 는 파이 시스템
$\displaystyle A, B \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 이면 어떤 $n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ A \in \mathcal{F}_{n_{1}} \\ B \in \mathcal{F}_{n_{2}} $$ 따라서 $$ (A \cap B) \in \mathcal{F}_{\max \left\{ n_{1} , n_{2} \right\} } \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n} $$
Part 4. $\displaystyle \mathcal{P} \subset \mathcal{L}$
$\displaystyle A \in \mathcal{P} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 라는 것은 $A \in \mathcal{F}_{n_{0}}$ 를 만족하는 어떤 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 가 존재한다는 것이다. 그러면 Part 1.에서 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 마틴게일이었으므로 $$ \begin{align*} \int_{A} X_{m} dP =& \int_{A} E ( X_{m}| \mathcal{F}_{n_{0}} ) dP \\ =& \int_{A} X_{n_{0}} dP \\ =& \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{n_{0}} \right) dP \\ =& \int_{A} \eta dP \end{align*} $$ 따라서 $$ \begin{align*} \left| \int_{A} X_{m} dP - \int_{A} X_{\infty} dP \right| \le & \int_{A} \left| X_{m} - X_{\infty} \right| dP \\ \le & E | X_{m} - X_{\infty} | \end{align*} $$ 이다. 여기서 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 는 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴하는 마틴게일이므로 $m \to \infty$ 일 때 $E| X_{m} - X_{\infty}| \to 0$ 이고 $$ \lim_{m \to \infty} \int_{A} X_{m} dP = \int_{A} X_{\infty} dP $$ 그리고 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ \int_{A} X_{m} dP = \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{m} \right) dP = \int_{A} \eta dP $$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{A} X_{\infty} dP =& \lim_{m \to \infty} \int_{A} X_{m} dP \\ =& \lim_{m \to \infty} \int_{A} \eta dP \\ =& \int_{A} \eta dP \end{align*} $$ 따라서 $\mathcal{L}$ 의 정의에 따라 $A \in \mathcal{L}$ 이다. 정리하면 $$ A \in \mathcal{P} \implies A \in \mathcal{L} \\ \mathcal{P} \subset \mathcal{L} $$
Part 5.
딘킨의 파이-람다 정리: 파이 시스템 $\mathcal{P}$ 가 람다 시스템 $\mathcal{L}$ 의 부분집합이면 $\mathcal{P} \subset \sigma ( \mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}$ 을 만족하는 시그마 필드 $\sigma ( \mathcal{P} )$ 가 존재한다.
$$ \begin{align*} \sigma \left( \mathcal{P} \right) =& \sigma \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n} \\ =& \mathcal{F}_{\infty} \end{align*} $$ 딘킨의 파이-람다 정리에 따라 다음을 만족하는 시그마 필드 $\mathcal{F}_{\infty}$ 가 존재한다. $$ A \in \mathcal{F}_{\infty} \implies \int_{A} X_{\infty} d P = \int_{A} \eta dP $$ 그러면 모든 $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ 에 대해 $$ \int_{A} X_{\infty} d P = \int_{A} \eta dP = \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) dP $$ 이다. $X_{\infty}$ 와 $E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 는 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이므로 르벡 적분의 성질에 따라 거의 확실히 $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 다. 그러면 처음에 $X_{n}$, $X_{\infty}$ 를 정의한대로 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) =& \lim_{n \to \infty} X_{n} \\ =& X_{\infty} \\ =& E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) \end{align*} $$
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