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레귤러 마틴게일이면 균등적분가능 마틴게일이다 📂확률론

레귤러 마틴게일이면 균등적분가능 마틴게일이다

정의

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 가 주어져 있다고 하자. 확률 변수의 집합 Φ\Phi 가 주어져있다고 할 때, 모든 ε>0\varepsilon>0 에 대해 sup⁡X∈Φ∫(∣X∣≥k)∣X∣dP<ε \sup_{ X \in \Phi } \int_{ \left( \left| X \right| \ge k \right) } \left| X \right| dP < \varepsilon 를 만족하는 k∈Nk \in \mathbb{N} 가 존재하면 Φ\Phi 가 균등적분가능하다고 말한다. 확률 과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 가 균등적분가능하면 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 균등적분가능하다고 말한다.

정리

마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 레귤러면 균등적분가능이다.

설명

하필 ∣X∣≥k|X| \ge k 를 생각하는 이유를 알고나면 정의를 받아들이기가 더 쉬워진다. 확률론에서 균등적분가능인지를 묻는 것은 확률 과정이 항상 퍼스트 모멘트를 가지는지 묻는 것과 같다. 다시 말해 E∣Xn∣<∞E |X_{n}| <\infty 를 체크하는건데, 자연수 k∈Nk \in \mathbb{N} 이 픽스되어있다면 E∣Xn∣=∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP+∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP E |X_{n}| = \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP 이므로 ∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP<∫(∣Xn∣<k)kdP<∫ΩkdP<kP(Ω)<∞ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP <& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } k dP \\ <& \int_{ \Omega } k dP \\ <& k P ( \Omega ) \\ <& \infty \end{align*} 이고, ∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP 은 생각할 필요가 없어져서 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP 이 유한한지만 체크하면 된다.

증명

모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 다음을 만족하는 k∈Nk \in \mathbb{N} 이 존재함을 보이면 된다. sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<ε \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon

Part 1. ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+ME∣Xn∣k\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}}

조건부 기대값의 성질:

  • [3]: XX 가 F\mathcal{F}-가측이면 E(X∣F)=X a.s.E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}
  • [10]: ∣E(X∣G)∣≤E(∣X∣∣G) a.s.\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}
  • [11]: 모든 시그마 필드 G\mathcal{G} 에 대해 E[E(X∣G)]=E(X)E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)

가정에서 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 은 레귤러 마틴게일이므로 Xn=E(η∣Fn)X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) 를 만족하는 적분가능한 확률변수 η\eta 가 존재한다. 조건부 기대값의 성질 [3], [10]에 따라 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≥k)∣E(η∣Fn)∣dP≤∫(∣Xn∣≥k)E(∣η∣∣Fn)dP=∫(∣Xn∣≥k)∣η∣dP \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } E \left( | \eta| | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } | \eta| dP \end{align*} 이제 (∣Xn∣≥k)\left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) 을 (∣η∣>M)\left( \left| \eta \right| > M \right) 와 (∣η∣≤M)\left( \left| \eta \right| \le M \right) 두 부분으로 쪼개면 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≥k)∩(∣η∣>M)∣η∣dP+∫(∣Xn∣≥k)∩(∣η∣≤M)∣η∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+∫(∣Xn∣≥k)MdP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MP(∣Xn∣≥k) \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| \le M \right)} | \eta| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } M dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \end{align*}

마코프 부등식: P(u(X)≥c)≤E(u(X))c P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c}

마코프 부등식에 의해 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MP(∣Xn∣≥k)≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+ME∣Xn∣k \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} \end{align*}

Part 2. sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ a.s.\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | \text{ a.s.}

Xn=E(η∣Fn)X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) 이므로 조건부 기대값의 성질 [10], [11]에 따라 E∣Xn∣=E∣E(η∣Fn)∣≤EE(∣η∣∣Fn)≤E∣η∣ \begin{align*} E |X_{n} | =& E \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E E \left( \left| \eta \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \le & E | \eta | \end{align*} 이므로 Part 1에 이어 다음의 부등식을 얻는다. ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | 이는 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 과 M>0M>0 에 대해서 성립하므로 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta |

Part 3. ∫(∣η∣>M)∣η∣dP<ε2\displaystyle \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}}

지배 수렴 정리: 가측집합 E∈ME \in \mathcal{M} 와 g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) 에 대해 가측함수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 이 EE 의 거의 어디서나 ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g 를 만족한다고 하자. 만약 EE 의 거의 어디서나 f=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n} 이면, f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) 그리고 lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

∣η∣1(∣η∣>M)≤∣η∣|\eta| \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } \le | \eta| 이므로 지배 수렴 정리에 따라 lim⁡M→∞∫(∣η∣>M)∣η∣dP=lim⁡M→∞∫Ω∣η∣1(∣η∣>M)dP=∫Ωlim⁡M→∞∣η∣1(∣η∣>M)dP=0 \begin{align*} \lim_{M \to \infty} \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta | dP =& \lim_{M \to \infty} \int_{ \Omega } | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& \int_{ \Omega } \lim_{M \to \infty} | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& 0 \end{align*} 다시 말해, 모든 ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0 에 대해 ∫(∣η∣>M)∣η∣dP<ε2 \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족하는 MM 이 존재한다.

Part 4. MkE∣η∣<ε2\displaystyle {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}}

위의 Part 3에 따라 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤ε2+MkE∣η∣ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{M} \over {k}} E | \eta | 를 만족시키는 MM 이 존재한다. 이 MM 과 모든 ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0 에 대해서 MkE∣η∣<ε2 {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}} 를 만족시키는 k∈Nk \in \mathbb{N} 이 존재한다. 모든 ε>0\varepsilon >0 에 대해 다음을 만족시키는 k∈Nk \in \mathbb{N} 가 존재하므로, 레귤러 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 은 균등적분가능하다. sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤ε2+ε2=ε \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} = \varepsilon

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