📂집합론

집합론으로 엄밀하게 정의되는 유한 집합과 무한 집합

정의 ¹

1. 두 집합 $X,Y$ 에 대해 전단사 $f : X \to Y$ 가 존재하면 $X$ 와 $Y$ 가 서로 대등하다^equipotent고 하고 $X \sim Y$ 와 같이 나타낸다.
2. 공집합이 아닌 $X$ 의 어떤 진부분집합 $Y \subsetneq X$ 에 대해 $X \sim Y$ 면 $X$ 를 무한 집합이라 한다.
3. 무한 집합이 아닌 집합을 유한 집합이라 한다.

설명

1. 흔히 집합론을 동원하지 않고 무한을 설명하려고 할 때 대등하다는 표현을 울타리에서 양을 내보내는 양치기에 비유하고는 한다. 충분히 많은 조약돌을 준비해놓고 양 한 마리가 울타리에서 나갈 때마다 조약돌 하나를 바구니에 넣는다면, 울타리에서 나간 양의 마릿수는 조약돌의 수와 같을 것이다. 거꾸로 다시 양을 울타리에 들여넣을 땐 바구니에서 조약돌을 하나씩 빼면서 셀 수 있다. 이 수가 정확히 일치한다면 양치기는 양을 잃어버리지 않은 것이다.
   이를 추상화하면 조약돌을 바구니에 넣고 빼는 것은 전단사 $f$ 이 나타내는 대응에 해당한다. 예로써 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 은 전단사 $g(n) = 2n$ 이 존재해서 짝수의 집합 $2 \mathbb{N}$ 과 대등하다. 물론 이러한 대응은 폐구간 $[0,1]$ 에 대해서도 $g(x) = 2x$ 로써 존재해서 $[0,1] \sim [0,2]$ 임을 보여준다. 여기서 $2 \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{N}$ 이고 $[0,1] \subsetneq [0,2]$ 임에 주목하라. 대등이라는 개념이 집합의 크기를 설명하기 위해서 도입된 것은 맞지만, 그것이 포함 관계로 이어지는 것은 아니다.
2. 무한 집합의 정의를 설명하기 위해서 ‘무한’이라는 단어를 쓰지 않은 것에 주목하라. 이는 무한이라는 것의 본질 자체가 ‘전체와 부분이라는 개념 사이의 무언가를 허문다’는 것을 의미한다. 이렇듯 무한은 자연스럽게 떠오르는 인간의 직관과 다르기 때문에 집합론이 태어난 것이다. 이는 힐베르트 호텔 을 비롯한 비유로 설명되곤 한다.

기초 성질

다음의 성질들은 유한 집합과 무한 집합들이 가지는 기본적인 성질들이다. 대등의 개념만 이해했다면 별로 어렵지 않게 받아들일 수 있을 것이다.

• [0] 공집합은 유한 집합이다.
• [1] 무한 집합의 초집합은 무한 집합이다.
• [2] 유한 집합의 부분집합은 유한 집합이다.
• [3] 무한 집합과 대등하면 무한 집합이다.
• [4] 유한 집합과 대등하면 유한 집합이다.
• [5] 무한 집합에서 유한 집합을 뺀 차집합은 무한 집합이다.