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강한 국소 립시츠 조건

정의¹

만약 $\delta \gt 0$, $M \gt 0$과 $\mathrm{bdry}\Omega$의 국소 유한 오픈 커버 $\left\{ U_{j} \right\}$가 존재해서, 각각의 $j$에 대해서 $n-1$개의 변수를 가지는 실수값을 갖는 함수 $f_{j}$가 $\text{(i)}$ ~ $\text{(iv)}$를 만족하면, 오픈 셋 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$이 강한 국소 립시츠 조건^{strong local Lipschitz condition}을 만족한다고 한다.

$\text{(i)}$ $|x-y| \lt \delta$를 만족하는 모든 짝 $x,y\in$ $\Omega_{\lt \delta}$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 $j$가 존재한다.

$$ x,y\in V_{j}=U_{j\gt\delta}=\left\{ z\in U_{j} : \mathrm{dist}(z,\ \mathrm{bdry}U_{j}) \gt \delta\right\} $$

$\text{(ii)}$ 각각의 $f_{j}$가 립시츠 상수 $M$에 대해서 립시츠 조건을 만족시킨다. 즉, $\xi=(\xi_{1}, \dots, \xi_{n-1} ), \rho=(\rho_{1}, \dots, \rho_{n-1})\in \mathbb{R}^{n-1}$이면

$$ |f(\xi)-f(\rho)|\le M|\xi-\rho| $$

$\text{(iii)}$ 어떤 직교 좌표 시스템 $(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n})\in U_{j}$에 대해서, $\Omega \cap U_{j}$가 아래의 부등식으로 표현된다. $$ \zeta_{j,n} \gt f_{j}(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n-1}) $$

$\text{(iv)}$ 어떤 양수 $R$이 존재하여, $U_{j}$의 $R+1$개 만큼의 모든 콜렉션들의 교집합은 공집합이다.