부호가 붙은 측도
정의1
$(X, \mathcal{E})$를 가측공간이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 확장된 실수값 함수 $\nu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}$를 부호 측도signed measure 라고 한다.
- $\nu ( \varnothing ) = 0$
- $\pm \infty$ 중에서 많아야 1개까지만 $\nu$의 함숫값이 될 수 있다. 다시 말해서 $-\infty \in \nu (\mathcal{E})$이면 $+\infty \notin \nu (\mathcal{E})$이고, $+\infty \in \nu (\mathcal{E})$이면 $-\infty \notin \nu (\mathcal{E})$이다.
- $\left\{E_{j}\right\}$를 $\mathcal{E}$에서 서로소인 집합들의 수열이라고 하자. 그러면 $\nu \left( \bigcup \nolimits_{j=1}^\infty E_{j} \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \nu (E_{j})$를 만족한다. 이때 $\nu (\cup _{1}^\infty E_{j})$가 유한할 경우 우변의 합은 절대수렴한다.
설명
쉽게 말해서 음수값도 가질 수 있게 일반화된 측도이다. 따라서 측도이면 부호 측도이기도 하다. 부호측도와 측도를 같이 언급할 때는 강조를 위해서 측도를 양측도positive measure라고 부르기도 한다. 부호 측도의 구체적인 예로 리만 적분이 있다.
한편 측도는 항상 0이상의 함숫값을 가져야하므로 임의의 함수의 리만 적분에 절댓값을 취한 것이라고 생각할 수 있다. 또한 모든 부호 측도는 두 측도의 차로 표현 가능하다.
$$ \nu = \mu_{1} -\mu_2 $$
성질
$\nu$를 가측 공간 $(X,\mathcal{E})$에서 정의된 부호 측도라고 하자.
아래로부터의 연속성:
$\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}$가 단조증가수열이라고 하자. 다시말해 $E_{1} \subset E_2 \subset \cdots$. 그러면 다음이 성립한다. $$ \mu\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j}) $$
위로부터의 연속성:
$\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}$가 단조감소수열이라고 하자. 다시말해 $E_{1} \supset E_2 \supset \cdots$. 그리고 $\mu (E_{1})<\infty$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$ \mu\left(\bigcap \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j}) $$
근본적으로 측도에서의 증명 방법1과 같다. 위의 성질을 측도의 관점에서 증명했을 때 필요한 것이 가산가법성이었는데 부호 측도도 가산가법성이 있으므로 증명 방법이 같다. 따라서 생략한다.