📂통계적분석

자기상관함수

정의 ¹

$\left\{ Y_{t} \right\}_{t=1}^{n}$ 이 확률과정이라고 하자.

1. $\mu_{t} := E ( Y_{t} )$ 를 평균함수라고 한다.
2. 다음과 같이 정의된 $\gamma_{ t , s }$ 를 자기공분산함수라고 한다. $$ \gamma_{t , s} : = \text{cov} ( Y_{t} , Y_{s} ) = E ( Y_{t} - \mu_{t} ) E ( Y_{s} - \mu_{s} ) $$
3. 다음과 같이 정의된 $\rho_{ t , s }$ 를 자기상관함수라고 한다. $$ \rho_{ t , s } := \text{cor} ( Y_{t} , Y_{s} ) = {{ \gamma_{t , s} } \over { \sqrt{ \gamma_{t , t} \gamma_{s , s} } }} $$
4. 다음과 같이 정의된 $\rho_{ k }$ 를 시차 $k$ 의 자기상관함수라고 한다. $$ \rho_{ k } := \text{cor} ( Y_{t} , Y_{t-k} ) = {{ \gamma_{t , t - k} } \over { \sqrt{ \gamma_{t , t} \gamma_{t-k , t-k} } }} $$
5. 다음과 같이 정의된 $r_{ k }$ 를 시차 $k$ 의 표본자기상관함수라고 한다. $$ r_{ k } := {{ \sum_{t = k+1}^{n} \left( Y_{t} - \overline{Y} \right) \left( Y_{t-k} - \overline{Y} \right) } \over { \sum_{t=1}^{n} \left( Y_{t} - \overline{Y} \right)^2 }} $$

설명

자기상관함수란 시계열 데이터의 자기상관성을 파악하기 위한 함수로, 같은 변수라도 어떤 시차를 가지고 스스로와 비슷한지에 관심을 둔다. 서로 다른 변수의 상관관계에 관심을 가지는 회귀분석의 아이디어와는 달리, 그 스스로가 시차 $k$ 를 두고 $Y_{t}$ 와 $Y_{t-k}$ 로 나뉘어 두 변수와 같이 취급된다.

수식적 설명

수식적으로는 $Y_{t}$ 가 $MA(q)$ 에서 나왔다고 생각해봤을 때 $\displaystyle Y_{t} = e_{t} - \sum_{k=1}^{q} \theta_{k} e_{t-k}$ 이므로 $Y_{t}$ 를 여러 정규분포의 합으로 볼 수 있고, $\rho_{k}$ 가 곧 $\theta_{k}$ 이므로 $MA(q)$ 모형을 찾는데에 유용하다.

sACF $r_{k}$ 는 ACF $\rho_{k}$ 의 추정치고, $Y_{t}$ 가 $MA(q)$ 모형에서 나왔다면 $k > q$ 일 때 정규분포 $\displaystyle N \left( \rho_{k} , {{1} \over {n}} \left[ 1 + 2 \sum_{j=1}^{q} \rho_{j}^{2} \right]^2 \right)$ 를 따른다. 수식으로 나타내보면 $$ r_{k} \sim N \left( \rho_{k} , {{1} \over {n}} \left[ 1 + 2 \sum_{j=1}^{q} \rho_{j}^{2} \right]^2 \right) $$ 인데, 이를 이용해 가설검정을 한다.

테스트

$\displaystyle Y_{t} = e_{t} - \sum_{k=1}^{q} \theta_{k} e_{t-k}$ 이 주어져있고, $k = 1 , \cdots , q$ 이라고 하자.

• $H_{0}$ : $MA(0) \iff \theta_{k} = 0$, 즉, $Y_{t}$ 는 이동평균 모형을 따르지 않는다.
• $H_{1}$ : $MA(k) \iff \theta_{k} \ne 0$, 즉, $Y_{t}$ 는 시차 $k$ 의 자기상관관계를 가진다.

해석

귀무가설 하에서는 모든 $k$ 에 대해 $\rho_{k} = \theta_{k} = 0$ 이므로 $q = 0$ 과 $\displaystyle r_{k} \sim N \left( 0 , {{1} \over {N }} \right)$ 을 가정하고 표준오차는 $\displaystyle {{1} \over {\sqrt{n} }}$ 가 된다. 따라서 유의수준 $\alpha$ 에 대해서 가설검정을 하고 싶다면 $| \theta_{k} |$ 가 신뢰구간상한 $\displaystyle {{ z_{1 - \alpha/2} } \over { \sqrt{n} }}$ 을 넘기는지 확인하면 된다. 넘어가면 유의한 시차의 후보가 되고, 넘어가지 못하면 자기상관관계가 없는 것으로 본다.

실습

ma1.2.s 데이터는 $MA(1)$ 모델에서 나온 TSA 패키지의 샘플 데이터다. 실제 아리마 모형으로 분석할 때 역시 추정치의 절대값이 표준오차의 두 배가 넘는지를 기준으로 유의한 계수인지 파악한다.

한편 TSA 패키지의 acf() 함수를 사용하면 위와 같이 여러 $k$ 에 대해 코릴로그램^correlogram을 그려준다. 굳이 머릿속으로 계산할 것 없이, 선을 넘어가면 유의한 것으로 보고 넘어가지 않으면 유의하지 않은 것으로 보아도 좋다. 기본적으로 유의수준 $5 \%$ 에서 계산된다.

여기서 주의해야할 것으로 $k=6$ 에서 살짝 삐져나온 것 역시 통계적으로 유의한 것은 맞지만, 실제로 자기상관관계가 있는것으로 보지는 않는다는 것이다. 시계열 분석에서 이 정도 삐져나오는 경우는 아주 빈번하며, 정신건강을 위해서는 융통성을 발휘하여 그냥 받아들이는 것을 추천한다.

자기상관함수를 이용한 가설검정을 제대로 이해했는지 확인해보는 방법으로써 위와 같이 실제로 선을 직접 그어보는 것을 추천한다. R 에서는 고작 코드 한 줄이지만, 한 번이라도 직접 실행시켜봄으로써 $r_{k}$ 가 정규분포를 따르며, 그 표준오차가 복잡한 수식 없이 $\displaystyle \text{se} ( r_{k} ) = {{1} \over {\sqrt{n}}}$ 으로 구해진다는 것을 받아들일 수 있다.

코드

library(TSA)
data(ma1.2.s); win.graph(6,4); acf(ma1.2.s)
arima(ma1.2.s, order=c(0,0,1))
abline(h=1.96*1/sqrt(length(ma1.2.s)),col='red')

같이보기

• PACF : 편자기상관함수
• EACF : 확장자기상관함수
• CCF : 교차상관함수