logo

리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈 📂해석개론

리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈

정의

{xn}n∈N\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}, {yn}n∈N\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 실수열이라고 하자.

  1. lim sup⁡n→∞xn:=lim⁡n→∞(sup⁡k≥nxk)\displaystyle \limsup_{n \to \infty} x_{n} := \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{k \ge n} x_{k} \right) 을 {xn}\left\{ x_{n} \right\} 의 리미트 슈프리멈limit supremum이라 한다.
  2. lim inf⁡n→∞yn:=lim⁡n→∞(inf⁡k≥nyk)\displaystyle \liminf_{n \to \infty} y_{n} := \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k \ge n} y_{k} \right) 을 {yn}\left\{ y_{n} \right\} 의 리미트 인피멈limit infimum이라 한다.

여기서 sup⁡k≥nxk:=sup⁡{xk:k≥n}\displaystyle \sup_{k \ge n} x_{k} := \sup \left\{ x_{k} : k \ge n \right\} 그리고 inf⁡k≥nxk:=inf⁡{xk:k≥n}\displaystyle \inf_{k \ge n} x_{k} := \inf \left\{ x_{k} : k \ge n \right\} 이다.

성질

  • (a): lim⁡k→∞xnk=x  ⟹  lim inf⁡n→∞xn≤x≤lim sup⁡n→∞xn \lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x \implies \liminf_{n \to \infty} x_{n} \le x \le \limsup_{n \to \infty} x_{n}
  • (b): lim inf⁡n→∞xn=x=lim sup⁡n→∞xn  ⟺  lim⁡n→∞xn=x \liminf_{n \to \infty} x_{n} = x = \limsup_{n \to \infty} x_{n} \iff \lim_{n \to \infty} x_{n} = x
  • (c): −lim inf⁡n→∞xn=lim sup⁡n→∞(−xn)−lim sup⁡n→∞xn=lim inf⁡n→∞(−xn) \begin{align*} - \liminf_{n \to \infty} x_{n} =& \limsup_{n \to \infty} ( - x_{n} ) \\ - \limsup_{n \to \infty} x_{n} =& \liminf_{n \to \infty} ( - x_{n} ) \end{align*}
  • (d): xn≤ynx_{n} \le y_{n} 이면 lim sup⁡n→∞xn≤lim sup⁡n→∞ynlim inf⁡n→∞xn≤lim inf⁡n→∞yn \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} x_{n} \le& \limsup_{n \to \infty} y_{n} \\ \liminf_{n \to \infty} x_{n} \le& \liminf_{n \to \infty} y_{n} \end{align*}

설명

리미트 슈프리멈은 해석학 전반에서 유용하게 쓰이는 표현으로써, 지금 당장 스스로가 동의하든 동의하지않든 편의를 위해서 도입된 것이다. 직관적으로는 슈프리멈과 인피멈에 관심을 두되 ‘수열의 앞부분을 버려가면서’ 계산하는 것으로 이해하면 편하다.

예로써 xk=1k\displaystyle x_{k} = {{ 1 } \over { k }} 이라고 할 때 sup⁡k≥n{xk}\displaystyle \sup_{k \ge n} \left\{ x_{k} \right\} 이 실제로 계산되는 과정을 한번 살펴보자.

n=3:sup⁡{13,14,15,⋯ }=13 n=3 : \sup \left\{ {{ 1 } \over { 3 }} , {{ 1 } \over { 4 }} , {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 3 }}

n=4:sup⁡{14,15,⋯ }=14 n=4 : \sup \left\{ \quad {{ 1 } \over { 4 }} , {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 4 }}

n=5:sup⁡{15,⋯ }=15 n=5 : \sup \left\{ \quad \quad {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 5 }}

n→∞:sup⁡k≥n{1k:k∈N}=0 n \to \infty : \sup_{k \ge n} \left\{ {{ 1 } \over { k }} : k \in \mathbb{N} \right\} = 0

이렇듯 앞부분을 버려가면서 계산한다는 점은 충분히 큰 nn 에 대해 이야기하고 싶다는 뜻이고, 결국 lim⁡\lim 와 관계가 있음을 알 수 있다.

여기서 lim⁡n→∞{1k:k≥n}=∅\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ {{1} \over {k}} : k \ge n \right\} = \emptyset 이므로 sup⁡lim⁡n→∞{xn}\displaystyle \sup \lim_{n \to \infty} \left\{ x_{n} \right\} 이 존재하지 않는다는 점을 생각해보면 왜 굳이 귀찮게 lim sup⁡n→∞=lim⁡n→∞sup⁡k≥n\displaystyle \limsup_{n \to \infty} = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} 과 같은 표현이 필요한지 이해하는데에 조금은 도움이 될 것이다. 극한을 생각하긴 하지만 적어도 nn 이 주어져 있으므로 sn:=sup⁡k≥nxk\displaystyle s_{n} := \sup_{k \ge n} x_{k} 와 같이 또다른 수열 sns_{n} 의 극한으로만 생각해도 무방하다.

한편 yn=1(−2)n−1\displaystyle y_{n} = {{1} \over {(-2)^{n-1}}} 을 생각해보면 sup⁡{yn}=1\sup \left\{ y_{n} \right\} = 1 이고 inf⁡{yn}=−12\displaystyle \inf \left\{ y_{n} \right\} = - {{1} \over {2}} 지만

lim sup⁡n→∞yn=lim inf⁡n→∞yn=0 \limsup_{n \to \infty} y_{n} = \liminf_{n \to \infty} y_{n} = 0

임을 알 수 있다. 이는 성질 (b) 에 대한 예시기도 하다.