리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈
정의
$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$, $\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 실수열이라고 하자.
- $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} x_{n} := \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{k \ge n} x_{k} \right)$ 을 $\left\{ x_{n} \right\}$ 의 리미트 슈프리멈limit supremum이라 한다.
- $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} y_{n} := \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k \ge n} y_{k} \right)$ 을 $\left\{ y_{n} \right\}$ 의 리미트 인피멈limit infimum이라 한다.
여기서 $\displaystyle \sup_{k \ge n} x_{k} := \sup \left\{ x_{k} : k \ge n \right\}$ 그리고 $\displaystyle \inf_{k \ge n} x_{k} := \inf \left\{ x_{k} : k \ge n \right\}$ 이다.
성질
- (a): $$ \liminf_{n \to \infty} x_{n} \le x \le \limsup_{n \to \infty} x_{n} $$
- (b): $$ \liminf_{n \to \infty} x_{n} = x = \limsup_{n \to \infty} x_{n} \iff \lim_{n \to \infty} x_{n} = x $$
- (c): $$ \begin{align*} - \liminf_{n \to \infty} x_{n} =& \limsup_{n \to \infty} ( - x_{n} ) \\ - \limsup_{n \to \infty} x_{n} =& \liminf_{n \to \infty} ( - x_{n} ) \end{align*} $$
- (d): $x_{n} \le y_{n}$ 이면 $$ \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} x_{n} \le& \limsup_{n \to \infty} y_{n} \\ \liminf_{n \to \infty} x_{n} \le& \liminf_{n \to \infty} y_{n} \end{align*} $$
설명
리미트 슈프리멈은 해석학 전반에서 유용하게 쓰이는 표현으로써, 지금 당장 스스로가 동의하든 동의하지않든 편의를 위해서 도입된 것이다. 직관적으로는 슈프리멈과 인피멈에 관심을 두되 ‘수열의 앞부분을 버려가면서’ 계산하는 것으로 이해하면 편하다.
예로써 $\displaystyle x_{k} = {{ 1 } \over { k }}$ 이라고 할 때 $\displaystyle \sup_{k \ge n} \left\{ x_{k} \right\}$ 이 실제로 계산되는 과정을 한번 살펴보자.
$$ n=3 : \sup \left\{ {{ 1 } \over { 3 }} , {{ 1 } \over { 4 }} , {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 3 }} $$
$$ n=4 : \sup \left\{ \quad {{ 1 } \over { 4 }} , {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 4 }} $$
$$ n=5 : \sup \left\{ \quad \quad {{ 1 } \over { 5 }} , \cdots \right\} = {{ 1 } \over { 5 }} $$
$$ n \to \infty : \sup_{k \ge n} \left\{ {{ 1 } \over { k }} : k \in \mathbb{N} \right\} = 0 $$
이렇듯 앞부분을 버려가면서 계산한다는 점은 충분히 큰 $n$ 에 대해 이야기하고 싶다는 뜻이고, 결국 $\lim$ 와 관계가 있음을 알 수 있다.
여기서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ {{1} \over {k}} : k \ge n \right\} = \emptyset$ 이므로 $\displaystyle \sup \lim_{n \to \infty} \left\{ x_{n} \right\}$ 이 존재하지 않는다는 점을 생각해보면 왜 굳이 귀찮게 $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n}$ 과 같은 표현이 필요한지 이해하는데에 조금은 도움이 될 것이다. 극한을 생각하긴 하지만 적어도 $n$ 이 주어져 있으므로 $\displaystyle s_{n} := \sup_{k \ge n} x_{k}$ 와 같이 또다른 수열 $s_{n}$ 의 극한으로만 생각해도 무방하다.
한편 $\displaystyle y_{n} = {{1} \over {(-2)^{n-1}}}$ 을 생각해보면 $\sup \left\{ y_{n} \right\} = 1$ 이고 $\displaystyle \inf \left\{ y_{n} \right\} = - {{1} \over {2}}$ 지만
$$ \limsup_{n \to \infty} y_{n} = \liminf_{n \to \infty} y_{n} = 0 $$
임을 알 수 있다. 이는 성질 (b) 에 대한 예시기도 하다.