コーシー・シュバルツ不等式の証明
定理
$$ ({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})\ge { (ax+by) }^{ 2 } $$
証明
$$ \begin{align*} & ({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})-{ (ax+by) }^{ 2 } \\ =& {a}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}-{ (ax+by) }^{ 2 } \\ =& {b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-2axby \\ =& { (ay-bx) }^{ 2 } \\ \ge& 0 \end{align*} $$ であるので、整理すると次を得る。 $$ ({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})\ge { (ax+by) }^{ 2 } $$
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説明
早ければ高校の課程から接することになる不等式であり、分野を問わず様々なところで使われている。代数的な証明は非常に簡単である。
証明の過程から分かるように、等号が成立するのは$ay-bx=0$の場合のみである。コーシー・シュバルツ不等式は、証明中に現れる項を含めて等式の形で表すこともできる。
$$ ({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})={ (ax+by) }^{ 2 }+{ (ay-bx) }^{ 2 } $$
これはある平方数の和が他の平方数の和たちの積として表されうることを示唆している。