📂상미분방정식

상미분 방정식

정의¹

일변수함수 $u(t)$에 대해서 다음과 같은 형식^form을 상미분 방정식^{ordinary differential equations (ODE)}이라 한다.

$$F(t, u(t), u^{\prime}(t), \dots, u^{(n)}(t)) = 0 \tag{1}$$

이때 $u^{\prime}$는 $u$의 도함수, $u^{(n)}$은 $u$의 $n$계 도함수 혹은 간단히 $y = u(t)$라 하면,

$$F(t, y, y^{\prime}, \dots, y^{(n)}) = 0$$

설명

$(1)$에서 $n$을 방정식의 계수^order라 한다. 학부 상미분 방정식에서는 주로 1계 상미분 방정식과 2계 상미분 방정식을 다룬다.

$(1)$을 만족하는 함수 $u$를 미분방정식의 해^solution라고 하며, '미분방정식을 푼다'라는 말은 '미분방정식의 해를 찾는다'와 같은 말이다.

상미분 방정식은 독립 변수가 하나인 미분 방정식을 말한다. 독립변수는 주로 $t$, $x$로 표기한다. $t$라고 표기되어 있다면 시간을 의미한다는 것을 기억하자. 시간에 대한 미분은 문자 위의 점으로 간단히 표현하는 경우가 많다.

$$\dfrac{dx}{dt} = \dot{x} \qquad \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = \ddot{x}$$

초기값 문제²

아래와 같은 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

$$F(t, u(t), u^{\prime}(t), \dots, u^{(n)}(t)) = 0 \tag{1}$$ $$\begin{aligned} u(t_{0}) &= u_{0} \\ u^{\prime}(t_{0}) &= u_{1} \\ &\vdots \\ u^{(n-1)}(t_{0}) &= u_{n-1} \end{aligned} \tag{2}$$

이때 $(2)$를 초기 조건^{initial condition}이라 하며, $(1)$과 $(2)$를 묶어 초기값 문제^{initial value problem}라 한다. $n$계 미분방정식의 해를 찾기 위해서는 $n$개의 초기값이 필요하다.

경계값 문제³

구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $y(x)$에 대해서, 아래와 같은 2계 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

$$y^{\prime \prime}(x) + p(x)y^{\prime}(x) + q(x)y(x) + r(x) = 0 \tag{4}$$ $$y(a) = y_{0}, \quad y(b) = y_{1} \tag{5}$$

이때 $(5)$를 경계 조건^{boundary condition}이라 하며, $(4)$과 $(5)$를 묶어 경계값 문제라 한다. 경계값 문제에서는 독립변수가 공간을 의미하는 경우가 많다.