📂푸리에해석

푸리에 변환

정의

함수로써의 푸리에 변환

함수 $f \in$ $L^{1}$의 푸리에 변환^{Fourier transform of $f$}을 다음과 같이 정의한다.

$$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt $$

오퍼레이터로써의 푸리에 변환

다음과 같이 정의되는 작용소 $\mathcal{F} : L^{1} \to$ $C_{0}$를 푸리에 변환이라고 한다.

$$ \mathcal{F}[f] (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt $$

설명

정의에서 보이듯이 푸리에 변환이라는 말은 오퍼레이터 $\mathcal{F}$ 그 자체를 의미하는 말이기도 하고, $\mathcal{F}$의 함숫값 $\hat{f} = \mathcal{F}f = \mathcal{F}[f]$를 의미하는 말이기도 하다. $\mathcal{F}$의 공역이 $C_{0}$인 것은 리만-르벡 보조정리에 의해 보장된다. 또한 다음이 성립함을 쉽게 보일 수 있다. $f \in L^{1}$에 대해,

$$ \left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} \le \left\| f \right\|_{1} $$

증명

$$ \begin{align*} \left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} = \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \mathcal{F}f(\xi) \right| &= \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt \right| \\ &\le \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) e^{-i \xi t} \right| dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right| dt = \left\| f \right\|_{1} \end{align*} $$

푸리에 변환은 적분변환의 한 종류로 이의 역변환은 다음과 같다.

$$ f(t) = \mathcal{F}^{-1}\hat{f}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i t \xi} d \xi $$

앞의 상수 $\dfrac{1}{2\pi}$은 어디에 붙어도 상관이 없기 때문에 역변환 앞에 적기도, 변환 앞에 적기도 한다. 혹은 양쪽에 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$를 붙이기도 한다. 이는 저자의 편의에 따라 다르게 나타나는 것일 뿐 본질적으로 차이는 없다. 또한 정의를 보면 $f$가 적분 가능한, 즉 $f\in L^{1}$인 조건을 만족해야 푸리에 변환이 잘 정의된다는 것을 알 수 있다. $\hat{f}$도 적분가능하면 푸리에 역변환도 잘 정의된다.

다변수 함수의 푸리에 변환

다변수 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의한다. 다변수 함수 $f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$의 푸리에 변환은,

$$ \mathcal{F}f(\boldsymbol{\xi}):=\int f(x)e^{-i \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x} }d\mathbf{x} $$

$$ \mathcal{F} f(\xi_{1},\ \cdots ,\ \xi_{n}) := \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{1},\ \cdots,\ x_{n})e^{-i(\xi_{1} x_{1}+\cdots+\xi_{n} x_{n})}dx_{1}\cdots dx_{n} $$

표기법

$f$의 푸리에 변환으로 흔히 쓰는 두 가지 표기법이 있다.

$$ \mathcal{F}(f),\quad \hat{f} $$

교재에서는 저자가 선호하는 기호가 무엇이냐에 따라서 다른데 둘 다 많이 쓰이는 편이다. 오른쪽의 햇 기호를 쓰는게 편해보이지만 헷갈릴 여지가 있기 때문에 정확하게 적어야 할 때는 왼쪽의 표현을 쓰는게 낫다. 예를들어 인풋 함수 자체의 기호가 길어질 경우 햇 기호를 썼을 때 헷갈리거나 보기에 좋지 않다. 이 경우에는 $\mathcal{F}$를 쓰면 식이 의미하는 바를 정확하고 깔끔하게 나타낼 수 있다. 가령 $W_{c}f$의 푸리에 변환은 아래에서 보이듯이 $\mathcal{F}$로 표기하는게 낫다.

$$ \mathcal{F}(\mathcal{W}_{c}f),\quad \hat{\mathcal{W}_{c}f},\quad \widehat{\mathcal{W}_{c}f} $$

다만 헷갈릴 여지가 없을 때는 햇 기호가 더 편하다. 이처럼 같은 개념에 대해서 여러가지 표기법이 있는 건 미분도 마찬가지이다.

$$ f^{\prime}, \quad \dfrac{df}{dx} $$

$\hat{f}$와 $\mathcal{F}$라는 두 표기법의 장단점은, 마치 미분에 대해서 왼쪽의 뉴턴 표기법은 경제성과 편의성이 우수한 반면, 오른쪽의 라이프니츠 표기법은 연쇄법칙 등을 계산할 때 엄밀함과 정확함에서 우수한 것과 같다.

유도¹

유한한 구간을 주기로 갖는(=유한한 구간에서 정의된) 함수는 푸리에 급수를 이용해서 근사할 수 있다. 이는 유용하지만 주기함수 에 대해서만 쓸 수 있으므로 비주기 함수에 대해서도 비슷한 역할을 하는 도구가 필요하다. 이러한 아이디어에서부터 나온 것이 푸리에 변환^{Fourier transform}이다. 푸리에 변환을 유도하는 과정에서 핵심 아이디어는 비주기 함수를 마치 실수 전체 구간을 주기로 가지는, 주기가 수직선에 전체에 걸쳐 1번 반복되는 함수라고 생각하는 것이다.

$f$를 구간 $[-L,L)$에서 정의된 함수라고 하자. 그러면 $f$의 푸리에 급수와 복소 푸리에 계수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \end{equation} $$

$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt $$

다음과 같은 변수 치환을 해주자.

$$ \Delta \xi = \dfrac{\pi}{L},\quad \xi_{n}=n\Delta\xi=\dfrac{n\pi}{L} $$

그러면 $(1)$은 다음과 같다.

$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}, \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i \xi_{n} t }dt $$

$f(t)$에 적절한 상수를 곱해주고 $c_{n}$의 적분항을 $\hat{f}(\xi_{n})$이라 하면

$$ f(t)=\dfrac{L}{\pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi , \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n}) $$

그리고 $f(t)$가 $t \rightarrow \pm \infty$일 때 빠르게 $0$으로 수렴한다고 가정하자. 그러면 $c_{n}$에 대해서 적분 구간을 $[-L,L)$에서 $(-\infty,\infty)$로 확장시켜도 원래의 $c_{n}$과 크게 다르지 않을 것이다.

$$ c_{n} \approx \dfrac{1}{2L} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi_{n} t}dt $$

이는 $\xi_{n}$만의 함수이므로 $c_{n} = \frac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n})$이라고 하자. $f(t)$에 대입하면

$$ f(t) \approx \dfrac{1}{2 \pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi_{n}) e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi $$

이는 리만합과 매우 유사하게 생겼다. 이제 $L\rightarrow \infty$ 극한을 취해주면 $\Delta\xi \rightarrow 0$이고 위 식의 $\approx$는 등식이 되고 합은 적분이 된다.

$$ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi t} d\xi \quad \text{and} \quad \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi t}dt $$

이때 $\hat{f}$를 $f$의 푸리에 변환이라하고, $f$를 $\hat{f}$의 푸리에 역변환^{Fourier inverse transform}이라 한다.