📂편미분방정식

멀티 인덱스 표기법

정의¹

각 성분이 음이 아닌 정수인 순서쌍 $\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n})$을 오더가 $|\alpha|$인 멀티 인덱스^multi-index 라고 한다. 이때 $| \alpha|$는 다음과 같다.

$$|\alpha| = \sum _{i}^{n} \alpha_{i} = \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{n}$$

표기법

$x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 $x^{\alpha}$는 다음과 같다.

$$x^{\alpha} := x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$$

멀티인덱스는 다음과 같이 편미분을 나타낼 때 자주 쓰인다.

$$\begin{align*} D^\alpha :=&\ \dfrac{\partial ^{|\alpha|} } {{\partial x_{1}}^{\alpha_{1}}\cdots {\partial x_{n}}^{\alpha_{n}}} \\ =&\ \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{1}} \right)^{\alpha_{1}}\left( \frac{ \partial }{ \partial x_{2}} \right)^{\alpha_{2}}\cdots \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{n}} \right)^{\alpha_{n}} \\ =&\ \partial^{\alpha_{1}}_{x_{1}}\cdots\partial^{\alpha_{n}}_{x_{n}} \end{align*}$$

예를 들어 $\alpha=(2,1,0)$라고 한다면 $D^{\alpha} u(x)$는 다음을 의미한다.

$$D^{\alpha} u(x)=\dfrac{ \partial^3 u(x)} {\partial x_{1} \partial x_{1} \partial x_{2}}=\dfrac{ \partial^3 u(x)} {\partial x_{1} ^{2} \partial x_{2}}$$

또한 $k \ge 0$인 정수에 대해서 $D^k$를 다음과 같이 정의한다.

$$D^ku:=\left\{ D^{\alpha} u : |\alpha|=k \right\}$$

$D^{k}u$는 오더가 $k$인 모든 멀티인덱스 $\alpha$에 대한 $D^{\alpha} u$를 다 모아놓은 집합이다. $k$는 멀티인덱스가 아니라 음이아닌 정수임을 주의하자. $D^{k}u$의 원소들 각각에 순서를 정해주면, 그러니까 이들이 각각 몇 번째 성분인지를 정해주면, $D^k u$를 $\mathbb{R}^{k}$의 점으로 생각할 수 있다². 다음의 예를 보자.

• Case 1. $k=1$

  그래디언트를 의미한다.

  $$D^1 u=Du:=(u_{x_{1}},\ u_{x_{2}},\ \cdots,\ u_{x_{n}})=\nabla u \ \in \ \mathbb{R^n}$$

• Case 2. $k=2$

  헤세 행렬을 의미한다.

  $$D^2u := \begin{pmatrix} u_{x_{1}x_{1}} & \cdots & u{x_{1}x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \cdots \\ u_{x_{n}x_{1}} & \cdots & u_{x_{n}x_{n}} \end{pmatrix} \in \ \mathbb{R^2}$$

  특히 $u$의 라플라시안의 경우 $u$의 헤세 행렬의 대각성분을 모두 더한 것과 같다.

  $$\Delta u=\nabla^2=\nabla \cdot \nabla u=\mathrm{div} Du = \sum_{i=1}^nu_{x_{i}x_{i}} = \mathrm{tr} (D^2u)$$