단진자 운동의 주기는 진자의 질량과 무관함을 증명
정리
단진자 운동의 주기 $T$는 진자의 질량 $m$과 무관하다.
설명
따라서 단진자 운동의 주기 $T$는 진자의 질량, 진폭의 크기 등과 무관하고 오로지 진자의 길이와 중력가속도에만 의존한다는 것을 알 수 있다.
증명
진자의 복원력은 다음과 같다.
$$ F=-mg\sin\theta $$
$x=l\theta$ 이므로, $\theta$가 충분히 작을 때 아래의 근사가 성립한다.
$$ \sin\theta \simeq \theta $$
이 때 복원력은
$$ \begin{align*} F =&\ -mg \sin\theta \\ =&\ -mg\theta \\ =&\ -mg\frac{x}{l} \\ =&\ -\frac{mg}{l} x \end{align*} $$
진자의 복원력은 $F=-kx$로도 표현할 수 있다. 따라서
$$ k=\dfrac{mg}{l} \quad \implies \quad \dfrac{m}{k}=\dfrac{l}{g} $$
주기는$T=\frac{2\pi}{w}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $ 이므로
$$ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$
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