푸리에 코사인 급수, 사인 급수, 우함수와 기함수의 푸리에 계수
정의
$f$를 구간 $[0,L)$에서 조각마다 매끄러운 함수라고 하자. 아래와 같이 정의되는 $f_{e}$를 구간 $[-L, L)$로 $f$의 even extension이라 한다.
$$ f_{e}(t) := \begin{cases} f(t) & -L \le t <0 \\ f(-t) & 0 \le t <L\end{cases} $$
비슷하게 아래와 같이 정의되는 $f_{o}$를 구간 $[-L, L)$로 $f$의 odd extension이라 한다.
$$ f_{o}(t) := \begin{cases} -f(-t) & -L \le t <0 \\ f(t) & 0 \le t <L\end{cases} $$
설명
$f_{e}$, $f_{o}$는 각각 $f$가 우함수, 기함수가 되도록 정의역을 확장한 것이다. $f_{e}$와 $f_{o}$를 이용하여 $f$의 푸리에 급수를 코사인 혹은 사인 항만 나타나도록 표현할 수 있다.
푸리에 코사인 급수
$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$
$f_{e}$는 우함수이고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로 아래의 식이 성립한다.
$$ a_{0}=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{e}(t)dt=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)dt $$
$$ a_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\cos \frac{n \pi t}{L}dt $$
$$ b_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\sin \frac{n\pi}{L}tdt=0 $$
따라서 $f_{e}(t)$의 푸리에 급수는
$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} $$
그리고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로
$$ \begin{equation} f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} \label{eq1} \end{equation} $$
이때, $a_{0}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)dt$, $a_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dt$이다. 식 $(1)$을 $f$의 푸리에 코사인 급수Fourier cosine series라 한다.
푸리에 사인 급수
$$ f_{o}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$
$f_{o}$는 기함수이고 $t \in [0,L)$에 대해서 $f_{e}(t)=f(t)$이므로 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{o}(t)dt=0 \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=0 \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\sin \frac{n \pi t}{L} \end{align*} $$
따라서 $f_{o}(t)$의 푸리에 급수는
$$ f_{o}(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} $$
그리고 $t \in [0,L)$에서 $f_{o}(t)=f(t)$이므로
$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} \label{eq2} \end{equation} $$
이때, $b_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\sin \frac{n\pi t}{L} dt$이다. 식 $(2)$를 $f$의 푸리에 사인 급수Fourier sine series라 한다.
우함수와 기함수의 푸리에 계수
위 내용을 요약하면 다음과 같다. $f$를 구간 $[-L,L)$에서 정의된 함수라 하자. $f$가 우함수면 $f$의 푸리에 계수는 아래와 같다.
$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \cos \frac{n \pi t}{L}dt \\ b_{n} &= 0 \end{align*} $$
$f$가 기함수면 $f$의 푸리에 계수는 아래와 같다.
$$ \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{n} &= 0 \\ b_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \sin \frac{n \pi t}{L}dt \end{align*} $$