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푸리에 코사인 급수, 사인 급수, 우함수와 기함수의 푸리에 계수 📂푸리에해석

푸리에 코사인 급수, 사인 급수, 우함수와 기함수의 푸리에 계수

정의

ff를 구간 [0,L)[0,L)에서 조각마다 매끄러운 함수라고 하자. 아래와 같이 정의되는 fef_{e}를 구간 [−L,L)[-L, L)로 ff의 even extension이라 한다.

fe(t):={f(t)−L≤t<0f(−t)0≤t<L f_{e}(t) := \begin{cases} f(t) & -L \le t <0 \\ f(-t) & 0 \le t <L\end{cases}

비슷하게 아래와 같이 정의되는 fof_{o}를 구간 [−L,L)[-L, L)로 ff의 odd extension이라 한다.

fo(t):={−f(−t)−L≤t<0f(t)0≤t<L f_{o}(t) := \begin{cases} -f(-t) & -L \le t <0 \\ f(t) & 0 \le t <L\end{cases}

설명

fef_{e}, fof_{o}는 각각 ff가 우함수, 기함수가 되도록 정의역을 확장한 것이다. fef_{e}와 fof_{o}를 이용하여 ff의 푸리에 급수를 코사인 혹은 사인 항만 나타나도록 표현할 수 있다.

푸리에 코사인 급수

fe(t)=12a0+∑n=1n(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L})

fef_{e}는 우함수이고 t∈[0,L)t \in [0,L)에 대해서 fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)이므로 아래의 식이 성립한다.

a0=1L∫−LLfe(t)dt=2L∫0Lf(t)dt a_{0}=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{e}(t)dt=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)dt

an=1L∫−LLfe(t)cos⁡nπtLdt=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdt a_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\cos \frac{n \pi t}{L}dt

bn=1L∫−LLfe(t)sin⁡nπLtdt=0 b_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\sin \frac{n\pi}{L}tdt=0

따라서 fe(t)f_{e}(t)의 푸리에 급수는

fe(t)=12a0+∑n=1nancos⁡nπtL f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L}

그리고 t∈[0,L)t \in [0,L)에 대해서 fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)이므로

f(t)=12a0+∑n=1nancos⁡nπtL \begin{equation} f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} \label{eq1} \end{equation}

이때, a0=2L∫0Lf(t)dta_{0}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)dt, an=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdta_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dt이다. 식 (1)(1)을 ff의 푸리에 코사인 급수Fourier cosine series라 한다.

푸리에 사인 급수

fo(t)=12a0+∑n=1n(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) f_{o}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L})

fof_{o}는 기함수이고 t∈[0,L)t \in [0,L)에 대해서 fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)이므로 아래의 식이 성립한다.

a0=1L∫−LLfo(t)dt=0an=1L∫−LLfo(t)cos⁡nπtLdt=0bn=1L∫−LLfo(t)sin⁡nπtLdt=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtL \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{o}(t)dt=0 \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=0 \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\sin \frac{n \pi t}{L} \end{align*}

따라서 fo(t)f_{o}(t)의 푸리에 급수는

fo(t)=∑n=1nbnsin⁡nπtL f_{o}(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L}

그리고 t∈[0,L)t \in [0,L)에서 fo(t)=f(t)f_{o}(t)=f(t)이므로

f(t)=∑n=1nbnsin⁡nπtL \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} \label{eq2} \end{equation}

이때, bn=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtLdtb_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\sin \frac{n\pi t}{L} dt이다. 식 (2)(2)를 ff의 푸리에 사인 급수Fourier sine series라 한다.

우함수와 기함수의 푸리에 계수

위 내용을 요약하면 다음과 같다. ff를 구간 [−L,L)[-L,L)에서 정의된 함수라 하자. ff가 우함수면 ff의 푸리에 계수는 아래와 같다.

a0=2L∫0Lf(t)dtan=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdtbn=0 \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \cos \frac{n \pi t}{L}dt \\ b_{n} &= 0 \end{align*}

ff가 기함수면 ff의 푸리에 계수는 아래와 같다.

a0=0an=0bn=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{n} &= 0 \\ b_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \sin \frac{n \pi t}{L}dt \end{align*}