선형대수

선형 대수의 내용 중에서도 일반벡터공간에 대한 내용을 중심으로 다루며 유한차원 위주의 선형변환, 실내적공간의 내용을 포함한다. 행렬에 대한 내용은 행렬대수 카테고리에서 찾을 수 있다. 같은 내용일지라도 선형대수 카테고리의 글이 더 추상적이거나 어려울 수 있다.

다다익선: 선형대수학은 많이 공부하면 많이 공부할수록 좋다

선형대수학이 필요한 사람이라면 “~를 위한 선형대수학"이 아닌 “선형대수학"을 공부하는 것을 권해본다.

벡터공간

• 벡터공간의 정의
  • 부분공간
  • 플래그
• 선형 결합, 생성
  • 합집합의 생성은 생성의 합과 같다 $\span(S_{1} \cup S_{2}) = \span(S_{1}) + \span(S_{2})$
• 선형 독립과 선형 종속
  • 론스키안의 정의와 독립종속 판별
  • 아핀 독립
• 기저
  • 기저의 더하기/빼기 정리
  • 유한차원 벡터공간에서 기저일 필요충분조건
  • 기저의 확장과 축소
  • 순서기저와 좌표벡터
  • 벡터의 좌표변환 $[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$
  • 선형변환의 좌표변환 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q$
• 차원
• 합 $+$
• 직합 $\oplus$
  • 직합의 성질
• 볼록 집합
• 행렬 벡터공간
• 다항식 벡터공간
• 🔒 (24/09/23) 콘과 컨벡스 콘의 정의

잉여류와 몫 공간

• 잉여류와 몫 공간 $v + W$, $V/W$
• 몫 공간의 기저와 차원
• 몫 공간으로의 사상 $\eta : V \to V/W$
• 몫 공간 위의 선형변환 $\overline{T} : V/W \to V/W$
• 선형변환과 몫공간으로의 사상의 특성다항식 사이의 관계
• 대각화가능한 선형변환의 몫 공간 위의 변환도 대각화가능하다

선형변환

• 선형변환 $T : V \to W$
  • 합성
  • 역변환 $T^{-1} : W \to V$
  • 영공간과 치역 $N(T)$, $R(T)$
  • 랭크, 무효차수, 차원정리 $\dim(N(T)) + \dim(R(T)) = \dim(V)$
  • 놈
  • 행렬 표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$
    • 합과 상수배의 행렬표현
    • 부분공간의 기저로부터 확장된 기저에 대한 선형변환의 행렬표현
  • 좌측곱셈변환(행렬변환)
  • 트레이스 $\tr$
• 단사, 전사일 필요충분조건
• 정의역의 기저는 선형변환의 상을 생성한다
• 두 유한차원 벡터공간 사이의 선형변환
• 동형사상
  • 모든 $n$차원 실벡터공간은 $\mathbb{R}^{n}$과 동형이다
  • 선형변환공간과 그 행렬표현공간은 동형이다
• 선형변환공간 $L(V,W)$, $\operatorname{Hom}(V,W)$, $\operatorname{End}(V)$
  • 가역선형변환 공간의 성질
• 치역이 커널보다 작을 동치조건
• 멱영 $T^{k} = 0$
  • 멱영의 고유값은 오직 0뿐이다
  • 영공간의 성질

고유값과 대각화

• 대각화가능한 선형변환
• 고유값, 고유벡터 $Tv = \lambda v$
  • 서로 다른 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 선형독립이다
  • 고유값의 중복도
  • 고유공간 $E_{\lambda}$, 고유값의 기하적중복도
  • 서로 다른 고유공간의 선형독립인 집합의 합집합은 선형독립이다
  • 선형변환의 대각화가능성과 고유값의 중복도, 고유공간의 관계
• 특성 다항식 $f(t) = \det(T - tI)$
  • 대각화가능한 선형변환의 특성다항식은 분해된다
  • 케일리-해밀턴 정리 $f(T) = T_{0}$
  • 특성다항식이 분해될 필요충분조건
• 불변 부분공간
  • 불변부분공간과 고유벡터의 관계
  • 대각화가능한 선형변환의 불변부분공간으로의 축소사상도 대각화가능하다
  • 선형변환이 대각화가능할 충분조건
  • 불변부분공간의 직합과 이의 특성다항식
• 순환 부분공간

적분변환

• 적분변환
• 컨볼루션의 일반적인 정의

쌍대공간

• 선형 범함수
  • 연속일 필요충분조건
  • 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건
• 일차 형식
• 이차 형식
  • 🔒 (24/06/19) 이차 형식이 $0$ 이 되는 필요충분조건
  • 🔒 (24/07/29) 양정부호 행렬의 고유값과 이차형식의 최대값
• 쌍선형 형식과 에르미트 형식
• 쌍대 공간
• 이중 쌍대 공간
• 반사공간
• 쌍대공간으로 정의되는 선형변환의 전치

텐서

• 벡터공간의 텐서곱 $V \otimes W$
• 곱 벡터 $v \otimes w$
• 텐서곱의 보편성질
• 선형변환의 텐서곱 $\phi \otimes \psi$
• 텐서곱의 행렬표현 $\begin{bmatrix} \phi \otimes \psi \end{bmatrix}_{\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}}^{{\mathcal{V}}^{\prime} \otimes \mathcal{W}^{\prime}}$
• 텐서곱과 쌍대공간 $V^{\ast} \otimes W^{\ast} \cong (V \otimes W)^{\ast}$
• 텐서곱의 전치 $(\phi \otimes \psi)^{t}$

내적공간

• 실벡터공간에서 내적이란?
• 직교여공간
• 직교성과 선형독립의 관계
• 직교기저들에 상대적인 좌표
• 선형대수에서 사영정리
• 그램-슈미트 직교화
• 선형대수학에서 노름 혹은 놈이란
• 놈의 동치관계
• 횔더 부등식
• 민코프스키 부등식

주요 참고문헌

• Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002)
• Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019)