📂선형대수

쌍선형 형식과 에르미트 형식

정의¹

두 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$가 다음과 같다고 하자.

$$ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},\quad \mathbf{u}^{T} = \begin{bmatrix} u_{1} & u_{2} & \cdots & u_{n} \end{bmatrix} $$

실수인 상수 $a_{ij} \in \mathbb{R} (1\le i,j \le n)$에 대해서 다음과 같이 정의되는 함수 $A : \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$를 쌍선형 형식^{bilinear form}이라 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x}):=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k} $$

쌍선형 형식에서 상수 $a_{ij} (1\le i,j \le n)$가 복소수이면서 $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$를 만족하면, 에르미트 형식^{Hermite form}이라 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits _{i,k=1} ^{n} a_{ik}u_{i}x_{k} = \mathbf{u}^{\ast} A \mathbf{x} $$

설명

에르미트 행렬은 쉽게 말해서 쌍선형 형식에서 행렬 $A$가 에르미트 행렬인 경우이다.

상수들의 행렬을 다음과 같이 표기하자.

$$ \quad A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

그러면 쌍선형 형식을 다음과 같이 행렬 곱으로 표현되며, 이를 행렬 $A$에 대응하는 쌍선형 형식이라고도 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k}= \mathbf{u}^{T}A\mathbf{x} $$

만약 일차 연립방정식이

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=y_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=y_{2} \\ &\vdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=y_{n} \end{cases} $$

와 같이 주어져있을 때 각 방정식에 $u_{i}$를 곱한 뒤 모두 더해주는 것으로 아래와 같은 쌍선형 형식을 얻을 수 있다. $I$는 단위 행렬이다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k}=\sum \limits_{i=1}^{n}u_{i}y_{i}=I(\mathbf{u}, \mathbf{y}) $$

이차 형식은 쌍선형 형식에서 $\mathbf{u} = \mathbf{x}$인 특수한 경우이다.

비퇴화

쌍선형형식 $A$가 비퇴화^{nondegenerate}라는 것은 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$에 대해서 다음을 만족하는 $\mathbf{u}$가 존재한다는 말이다.

$$ A(\mathbf{u}, \mathbf{x}) \ne \mathbf{0} $$

다시 말해 아래의 식을 만족하는 $\mathbf{x}$는 오직 $\mathbf{0}$ 뿐이라는 말이다.

$$ A(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = \mathbf{0}, \enspace \forall \mathbf{u} \implies \mathbf{x} = \mathbf{0} $$

식을 다시 보자.

$$ A(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x} = \mathbf{0}, \enspace \forall \mathbf{u} $$

위 식이 모든 $\mathbf{u}$에 대해서 성립하려면 $A\mathbf{x}$가 $\mathbf{0}$이어야 한다.

$$ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $$

이것이 성립하는 $\mathbf{x}$가 오직 $\mathbf{0}$ 뿐이려면 $A$가 가역행렬이어야 한다. 따라서 $A$가 비퇴화라는 것은 $A$에 대응되는 행렬이 가역이라는 것과 같다.

같이보기

• 일차형식
• 이차형식
• 쌍선형형식
• 에르미트형식