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삼중대각행렬의 행렬식 유도 📂행렬대수

삼중대각행렬의 행렬식 유도

공식

Xn:=[x10⋯001x1⋯0001x⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯x1000⋯1x] X_{n} := \begin{bmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix} 위와 같이 정의된 삼중대각행렬 XnX_{n} 의 행렬식은 다음과 같다. det⁡Xn=∣Xn∣=Un(x2) \det X_{n} = \left| X_{n} \right| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)

UnU_{n} 은 nn 차 제2종 체비셰프 다항함수를 의미한다.

증명

물론 XnX_{n} 은 일반적인 삼중대각행렬이 아니고 삼중대각 퇴플리츠Toeplitz 행렬 중에서도 특수한 형태다. 그 중에서 특히 편미분방정식의 수치해석적인 풀이에 유용하게 쓰이는 형태로써, 보통은 그 고유값에 관심이 많다.

Part 1. ∣Xn+1∣=x∣Xn∣−∣Xn−1∣| X_{n+1} | = x | X_{n} | - | X_{n-1} |

라플라스 전개: 선택된 ii행 에 대해 det⁡A=∑i=1naijCij \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}

n×nn \times n 행렬 Yn:=[110⋯000x1⋯0001x⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯x1000⋯1x]Y_{n} : = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix} 을 정의하자. YnY_{n} 의 첫번째 열은 (1,0,⋯ ,0)(1, 0 , \cdots , 0) 으로써, 첫번째 성분을 제외하면 영벡터가 되므로 첫번째 열을 포함한 여인자는 00 이 된다. 따라서

∣Yn∣=1⋅∣Xn−1∣−1⋅0+0⋅0−⋯±0⋅0=∣Xn−1∣ | Y_{n} | = 1 \cdot | X_{n-1} | - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdot 0 = | X_{n-1} |

마찬가지로 라플라스 전개에 의해

∣Xn+1∣=x⋅∣Xn∣−1⋅∣Yn∣+0⋅0−⋯±0⋯0=x∣Xn∣−∣Xn−1∣ | X_{n+1} | = x \cdot | X_{n} | - 1 \cdot | Y_{n} | + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdots 0 = x | X_{n} | - | X_{n-1} |

Part 2. ∣xn∣=Un(x2)\displaystyle | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)

명제 P(n):∣xn∣=Un(x2)\displaystyle P(n) : | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right) 을 정의하고 수학적 귀납법을 사용하자.

n=1n=1 일 때, ∣X1∣=xU1(x2)=2x2=x | X_{1} | = x \\ U_{1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 2 {{x} \over {2}} = x

n=2n=2 일 때, ∣X2∣=x2−1U2(x2)=4(x2)2−1=x2−1 | X_{2} | = x^2 - 1 \\ U_{2} \left( {{x} \over {2}} \right) = 4 \left( {{x} \over {2}} \right)^2 - 1 = x^2 - 1

명제 P(n)P(n) 이 n=k−1n=k-1, n=kn=k 일 때 성립한다고 가정해보자.

제2종 체비셰프 다항함수의 재귀식:

Un+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x) U_{n+1} (x) = 2x U_{n} (x) - U_{n-1} (x)

Part 1에서

∣Xk+1∣=x∣Xk∣−∣Xk−1∣ | X_{k+1} | = x | X_{k} | - | X_{k-1} |

이고,

Uk+1(x2)=xUk(x2)−Uk−1(x2) U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right)

따라서

∣Xk+1∣−Uk+1(x2)=x[∣Xk∣−Uk(x2)]−[∣Xk−1∣−Uk−1(x2)] | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x \left[ | X_{k} | - U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] - \left[ | X_{k-1} | - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) \right]

가정에서 ∣Xk∣=Uk(x2)\displaystyle | X_{k} | = U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) 이고 ∣Xk−1∣=Uk−1(x2)\displaystyle | X_{k-1} | = U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) 이므로

∣Xk+1∣−Uk+1(x2)=0 | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 0

수학적 귀납법에 의해 P(n)P(n) 은 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 참이다.

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