📂르벡공간

르벡공간의 횔더 부등식 증명

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 다음의 식을 만족시키는 두 상수 $1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$가 주어졌다고 하자.

$$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right)$$

만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ 이면 $uv \in L^1(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$\| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

위 부등식을 횔더 부등식^{hölder’s inequality}이라 한다.

설명

$p^{\prime}$은 $p$의 횔더 켤레^{hölder conjugate} 혹은 켤레 지수^{conjugate exponent}라고 한다. $q$라고 표기하는 경우도 많다.

$| u(x) |^{p}$와 $| v(x) |^{p^{\prime}}$이 $\Omega$의 거의 어디에서나 비례관계이면 등식이 성립한다.

본질적으로 유클리드 공간에서의 횔더 부등식과 같으며, $p=p^{\prime}=2$ 일 때 코시-슈발츠 부등식이 되는 것 또한 마찬가지다. 증명 자체는 코시-슈발츠 부등식의 증명에서 영의 부등식이 추가된 것밖에 없다.

다음과 같은 꼴로 일반화도 가능하다.

$$\| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{p^{\prime}}$$

$$\| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_j} = \| u_{1} \|_{{p}_1} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}}$$

증명

영의 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$ 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 $p, p^{\prime}$와 두 양수 $a,b$ 에 대해

$$ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{p^{\prime}}} \over {p^{\prime}}}$$

• Case 1. $\| u \|_{p} = 0$ 이거나 $\| v \|_{p^{\prime}} = 0$

  $\Omega$의 거의 어디서나 $u(x) = 0$이거나 $\Omega$의 거의 어디서나 $v(x) = 0$이므로, $\Omega$의 거의 어디서나 $u(x)v(x) = 0$이다. 따라서

  $$\left| \int_{\Omega} u(x) v(x) dx \right| = \| uv \|_{1} = 0$$

  이고

  $$\| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} = 0$$

  이므로 부등식을 만족시킨다.

• Case 2. 그 외의 경우

  영의 부등식에서 $a = \dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}}$와 $b = \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}}$ 을 대입하자. 그러면

  $$\dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}} \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}} \le \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p}}{ p \| u \|_{p}^{p}} + \dfrac{\left| v(x) \right|^{p^{\prime}}}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}}$$

  양변을 적분하면 다음과 같다.

  $$\begin{align*} \dfrac{1}{\| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}} \int_{\Omega}\left| u(x)v(x) \right| dx \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \int_{\Omega} \left| v(x) \right|^{p^{\prime}} dx \\ \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \| u \|_{p}^{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ \le & \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} } \\ =& 1 \end{align*}$$

  좌변의 상수를 넘기면

  $$\| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

  따라서 $uv \in L^{1}(\Omega)$이고, 부등식이 성립한다.

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같이보기

• 유클리드 공간에서의 횔더 부등식
• 일반화된 횔더 부등식