📂기하학

미분기하학에서 리만 곡률 텐서, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식

정의¹

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 곡면 $M$ 위의 좌표조각사상이라고 하자. $(u^{1}, u^{2})$를 $U$의 좌표라 하자. $\mathbf{x}$에서 크리스토펠 심볼 $\Gamma_{ij}^{k}$와 제2 기본형식의 계수 $L_{ij}$가 주어졌다고 하자.

리만 곡률 텐서의 계수^{coefficients of Riemannian curvature tensor} $R_{ijk}^{l}$를 아래와 같이 정의한다.

$$R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \text{ for } 1 \le i,j,k,l \le 2$$

이때 $\Gamma_{ij}^{k}$는 크리스토펠 심볼이다.

설명

크리스토펠 심볼이 내재적이므로 리만 곡률 텐서도 내재적이다.

미분기하에서 등장하는 계수라는 이름이 붙은 아이들은 좌표계에 의존하지 않는다는 특징이 있다. 우리는 이러한 것들을 보고 텐서^tensor라고 부른다.

가우스 방정식은 제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관점에서 $R_{ijk}^{l}$의 외재적인 표현을 제공한다.

정리

• 가우스 방정식^{Gauss’s equations}

$$R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l}$$

• 코다찌-마이나르디 방정식^{Codazzi-Mainardi equations}

$$\dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right)$$

여기서 $L_{j}^{i}$는 바인가르텡 맵의 행렬표현의 성분이다.

증명

두 식을 동시에 증명한다. $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. $(u^{1}, u^{2})$를 $U$의 좌표라고 하자.

가우스 공식

$$\mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l}$$

우선 가우스 공식에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \dfrac{\partial}{\partial u^{k}}\left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} \right) \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} + L_{i j} \mathbf{n}_{k}+\sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l}+\sum\limits_{l}\Gamma_{i j}^{l} \mathbf{x}_{l k} \end{align*}$$

이때 $\mathbf{n}_{k} = \mathbf{x}_{k}\mathbf{n} = - L(\mathbf{x}_{k}) = -\sum\limits_{l}L_{k}^{l}\mathbf{x}_{l}$이므로, 두번째 항은 $L_{ij}\mathbf{n}_{k} = -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l}$이다. 또한 네번째 항에 가우스 공식을 다시 적용하면,

$$\sum\limits_{l} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l k} = \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m}$$

이를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{p,l}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \mathbf{x}_{l} \\ &= \left( \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} \end{align*}$$

$l,m$은 더미 인덱스이므로, 마지막항의 인덱스를 $(l,m) \to (p,l)$로 바꿔주고, 항을 묶었다. 위와 비슷하게 다음을 얻는다.

$$\mathbf{x}_{ikj} = \left( \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} \right)\mathbf{x}_{l}$$

이때 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 충분히 미분가능하다고 가정하므로,

$$\mathbf{x}_{i j k}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{k} \partial u^{j} \partial u^{i}}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{j} \partial u^{k} \partial u^{i}}=\mathbf{x}_{i k j}$$

$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}$은 $\mathbb{R}^{3}$의 기저이므로, $\mathbf{x}_{ijk}$와 $\mathbf{x}_{ikj}$의 각 성분은 서로 같아야한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} &= \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \\ \implies && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} - \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} &= \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} - \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right) \end{align*}$$

코다찌-마이나르디 방정식이 증명되었다. 계속해서 같은 논리로 다음의 등식이 성립한다.

$$\frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l}$$

잘 정리하면 다음을 얻는다.

$$L_{i k} L_{j}^{l} - L_{i j} L_{k}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{p} \left( \Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right) = R_{ijk}^{l}$$

가우스 방정식이 증명되었다.

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같이보기

• 미분다양체위의 리만곡률텐서