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시그마 대수와 가측 공간 📂측도론

시그마 대수와 가측 공간

정의

집합 X≠∅X \ne \emptyset 에 대해 아래의 조건들을 만족하는 E⊂P(X)\mathcal{E} \subset \mathscr{P} (X) 를 XX 상의 시그마 대수sigma Algebra 혹은 시그마 필드라 한다. 집합 XX 와 시그마 필드 E\mathcal{E} 의 순서쌍 (X,E)(X , \mathcal{E}) 를 가측 공간measurable space이라고 한다.

  • (i): ∅∈E\emptyset \in \mathcal{E}
  • (ii): E∈E  ⟹  Ec∈EE \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}
  • (iii): {En}n∈N⊂E  ⟹  ⋃n=1∞En∈E\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}
  • (iv): {En}n∈N⊂E  ⟹  ⋂n=1∞En∈E\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}

설명

어떤 공간 XX 에 대해 시그마 필드 E\mathcal{E} 가 주어진다면 (X,E)(X , \mathcal{E}) 를 가측 공간이라 한다. 측도 μ\mu 가 주어져였다면 (X,E,μ)(X , \mathcal{E} , \mu) 를 측도 공간이라고 하고, 특히 측도 μ\mu 가 확률이면 확률 공간이라고 부른다.

같은 개념이지만 수학에서는 시그마 대수, 통계학에서는 시그마 필드라는 이름으로 불린다고 보면 된다.

카라테오도리 조건: E⊂RE \subset \mathbb{R} 이 A⊂RA \subset \mathbb{R} 에 대해 m∗(A)=m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{ \ast }(A) = m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} ) 을 만족하면 EE 를 가측 집합measurable set이라 하고 E∈ME \in \mathcal{M} 과 같이 쓴다.

‘가측 집합’이란 이름 그대로 길이를 잴 수 있는 집합이라는 뜻을 가진다. 외측도의 단조성에서 m∗(A)≤m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{ \ast }(A) \le m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} ) 은 자명하므로, 어떤 집합이 가측인가를 확인하는 것은 m∗(A)≥m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)m^{ \ast }(A) \ge m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} ) 인가를 확인하는 것과 진배없다.

가측 집합들의 집합의 시그마 알지브라

위와 같은 정의에서 X=RX = \mathbb{R} 의 가측 집합들의 집합인 M\mathcal{M} 는 다음의 성질들을 가지는 시그마 알지브라가 된다.

M\mathcal{M} 은 아래의 성질들을 가진 시그마 알지브라다.

  • [1]: ∅∈M \emptyset \in \mathcal{M}
  • [2]: E∈M  ⟹  Ec∈M E \in \mathcal{M} \implies E^{c} \in \mathcal{M}
  • [3]: {En}n∈N⊂M  ⟹  ⋃n=1∞En∈M \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M}
  • [4]: {En}n∈N⊂M  ⟹  ⋂n=1∞En∈M \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M}
  • [5]: N⊂M \mathcal{N} \subset \mathcal{M}
  • [6]: I⊂M \mathcal{I} \subset \mathcal{M}
  • [7]: Ei,Ej∈ME_{i} , E_{j} \in \mathcal{M} 라 하면 다음이 성립한다. Ei∩Ej=∅,∀i≠j  ⟹  m∗(⋃n=1∞En)=∑n=1∞m∗(En) E_{i} \cap E_{j} = \emptyset , \forall i \ne j \implies m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n = 1} ^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n})
  • I\mathcal{I} 는 모든 구간들의 집합, N\mathcal{N} 은 모든 영집합의 집합이다.

특히 [7]은 르벡이 꿈에서나 그리던 ‘길이의 일반화’에 꼭 필요한 성질임에 주목하라.