📂위상수학

위상수학에서의 기저와 국소기저

정의

위상공간 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 에 대해 $\mathscr{B} , \mathscr{B}_{x} \subset \mathscr{T}$ 라고 하자.

1. $B_{\lambda} \in \mathscr{B}$ 이라고 할 때, 모든 $U \in \mathscr{T}$ 에 대해 $$ U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_{ \lambda } $$ 를 만족하는 첨수집합 $\Lambda$ 가 존재하면 $\mathscr{B}$ 를 $\mathscr{T}$ 에 대한 기저^basis라고 한다. 이 때 위상 $\mathscr{T}$ 는 $\mathscr{B}$ 에 의해 생성된다^generated고 한다.
2. $x \in X$ 라고 할 때, 모든 $B \in \mathscr{B}_{x}$ 에 대해 $x \in B$ 이고 $x$ 를 포함하는 모든 $U \in \mathscr{T}$ 에 대해 $$ x \in B \subset U $$ 를 만족하는 $B \in \mathscr{B}_{x}$ 가 존재하면 $\mathscr{B}_{x}$ 를 $x$ 에서의 국소기저^{local Basis}라고 한다.

설명

정의가 상당히 헷갈리게 적혀있기 때문에 연습문제를 풀기 전엔 개념적으로 받아들이는 게 훨씬 편할 것이다. 선형대수학에서의 기저와는 느낌만 비슷하고 정의 상으론 비슷한 게 별로 없으니 그 연관성을 찾으려고 애쓰진 말자.

기저는 한마디로 주어진 위상을 합집합으로써 만들 수 있는 집합이다. 교집합을 생각할 필요까진 없기 때문에 위상에서 ‘작은’ 열린 집합들을 모아서 구성하면 된다.

거리공간을 예로 들자면 모든 열린 볼들의 집합은 거리공간의 기저가 된다.

필요성

책공부를 하는 입장에선 선형대수에서 그랬던 것처럼 위상 $\mathscr{T}$ 에서 기저 $\mathscr{B}$ 를 찾을 생각을 하니까 어렵기만하고 아리송한 개념이다. 반대로 생성, 그러니까 기저에서 위상을 만드는 입장이 되어보면 기저라는 게 그렇게 편리할 수가 없다.

예를 들어 자연수의 수열로 위상공간을 만든다고 쳤을 때, 초항을 기준으로 위상을 만들고 싶다면 $B_{1}$ 은 초항이 $1$ 인 수열의 집합, $B_{2}$ 은 초항이 $2$ 인 수열의 집합, $B_{k}$ 은 초항이 $k$ 인 수열의 집합 … 그리고 이들을 개집합으로 생각하는 방식으로 접근해볼 수 있다. 문제는 $\mathscr{T}$ 에 합집합 $B_{1} \cup B_{2}$ 가 존재하지 않는다는 것이다. 초항이 $1$ 이거나 $2$ 인 수열은 존재하지 않기 때문인데, 이럴 때 그냥 $\mathscr{B} = \left\{ B_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 에서 나올 수 있는 모든 합집합을 있다고 치면 일이 한결 쉬워진다. 이야말로 기저로 생성된 위상을 알차게 써먹은 것이다.

판별법 ¹

기저의 판별: 전체집합 $X$ 에 대해 $\mathscr{B} \subset \mathscr{P} (X)$ 은 아래의 두 조건을 만족할 때 $X$ 의 기저다.

• (i): $\displaystyle X = \bigcup_{B \in \mathscr{B}} B$
• (ii): $x \in B_{1} \cap B_{2}$ 인 모든 $ B_{1} , B_{2} \in \mathscr{B}$ 에 대해 다음을 만족하는 $B_{x} \in \mathscr{B}$ 가 존재한다. $$ x \in B_{x} \subset B_{1} \cap B_{2} $$

위의 판별법은 실제 문제풀이 등에서 유용하게 쓸 수 있는 정리이므로 반드시 알아두도록 하자. 교재에 따라서는 오히려 이 판별법이 정의가 될 수도 있다.

국소기저는 위상 전체에 대한 개념인 기저와는 달리 주어진 한 점만을 다루는 개념이다. 말이 길고 어렵지만 요약하면 결국 $x$ 를 포함하는 모든 열린 공간 중 가장 ‘작은’ 것들만 모아도 국소기저의 조건을 만족한다.

거리공간을 예로 들자면 $x$ 를 중심으로 하는 모든 열린 볼들의 집합은 $x$ 에서의 국소기저가 된다.

기저와 국소기저의 관계

$X$ 를 위상공간이라고 하자.

$\mathscr{B}$ 가 $X$ 의 기저면 $\mathscr{B}_{x} := \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$ 는 $x \in X$ 의 국소기저다. 역으로, 모든 $x \in X$ 에 대해 $\mathscr{B}_{x}$ 가 국소기저면 $\displaystyle \mathscr{B} := \bigcup_{x \in X} \mathscr{B}_{x}$ 는 $X$ 의 기저다.

주의사항

필요충분조건이 아니므로 역이 성립하기 위해서는 모든 점에서의 국소기저를 생각해야한다는 점에 주의하도록 하자.