📂고전역학

물리학에서 구속조건이란?

정의

입자, 혹은 입자계가 기하학적으로 제한된 영역(주어진 곡선이나 곡면 등)에서만 운동할 때 이를 구속운동^{constrained motion}이라 하고, 이러한 제한 자체를 구속조건^constraint라고 한다.

설명

한국어로는 구속조건이라 흔히 말하지만, 영어로는 constraint condition이 아니라 그냥 constraint이다.

구속운동의 쉬운 예로는 원운동, 진자운동 등이 있다. 2차원 평면에서 반지름이 $r$인 원궤도로 운동하는 물체의 구속조건은 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$이다. 입자계의 총 좌표 개수에서 (홀로노믹인) 구속조건의 개수를 뺀 것을 자유도라 한다. 자유도가 $n$인 입자계의 좌표를 구속조건과 무관한 $n$개의 좌표로 나타내는 것을 일반화좌표라 한다.

홀로노믹

구속조건이 오로지 위치와 시간에 관한 방정식일 때, 이를 홀로노믹^holonomic이라 한다. 입자계의 모든 구속조건이 홀로노믹이면, 그 입자계를 홀로노믹이라 한다.

가령 3차원에서 운동하는 $N$개의 입자가 있다고 하자. 이 입자계의 구속조건이 $m$개일 때, 입자계가 홀로노믹이라는 것은 구속조건 $f_{j}$들에 대해서 다음의 수식이 성립한다는 것이다.

$$f_{j}(x_{i}, y_{i}, z_{i}, t) = 0,\quad i=1,2,\dots,N \quad j=1,2,\dots,m$$

구체적으로 반지름이 $r$인 구면위를 운동하는 입자의 구속조건은

$$f(x,y,z) = r^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} = 0$$

이므로 홀로노믹이다. 반대로 구면 바깥을 운동하는 입자의 구속조건은 $r^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0$이므로 홀로노믹이 아니다. 쉽게말해서 홀로노믹이란, 자유도를 줄일 수 있는 구속조건을 의미한다.