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닮은 행렬은 같은 고유값을 갖는다 📂행렬대수

닮은 행렬은 같은 고유값을 갖는다

정리

두 행렬 A,BA,B 가 닮음이면, 같은 고유값을 같는다.

det⁡(A−λI)=det⁡(B−λI) \det (A - \lambda I) = \det (B - \lambda I)

이때 λ\lambda는 A,BA, B의 고유값이다.

설명

고유값이 같다는 말은, 특성 방정식이 같다는 말과 같다.

증명

고유값이 같음을 보이기 위해서는 특성방정식이 같음을 보이면 충분하다.

det⁡(A−λI)=det⁡(P−1(B−λI)P)=det⁡P−1det⁡(B−λI)det⁡P=det⁡P−1det⁡Pdet⁡(B−λI)=det⁡Idet⁡(B−λI)=det⁡(B−λI) \begin{align*} \det (A - \lambda I ) =& \det ( P^{-1} (B - \lambda I ) P ) \\ =& \det P^{-1} \det (B - \lambda I) \det P \\ =& \det P^{-1} \det P \det (B - \lambda I) \\ =& \det I \det (B - \lambda I) \\ =& \det (B - \lambda I) \end{align*}

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