닮은 행렬은 같은 고유값을 갖는다
정리
두 행렬 $A,B$ 가 닮음이면, 같은 고유값을 같는다.
$$ \det (A - \lambda I) = \det (B - \lambda I) $$
이때 $\lambda$는 $A, B$의 고유값이다.
설명
고유값이 같다는 말은, 특성 방정식이 같다는 말과 같다.
증명
고유값이 같음을 보이기 위해서는 특성방정식이 같음을 보이면 충분하다.
$$ \begin{align*} \det (A - \lambda I ) =& \det ( P^{-1} (B - \lambda I ) P ) \\ =& \det P^{-1} \det (B - \lambda I) \det P \\ =& \det P^{-1} \det P \det (B - \lambda I) \\ =& \det I \det (B - \lambda I) \\ =& \det (B - \lambda I) \end{align*} $$
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