제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계
📂기하학제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계
정리
곡면 M 위의 점 p에 대해서 X,Y∈TpM을 탄젠트 벡터라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
II(X,Y)=⟨L(X),Y⟩=⟨X,L(Y)⟩
여기서 L은 바인가르텡 맵이다.
설명
다시 말해 바인가르텡 맵 L은 자기 수반self-adjoint, symmetric인 선형변환이다.
증명
바인가르텡 맵의 성질
Llk=i∑Likgil이라고 정의하면, 다음이 성립한다.
L(xk)=l∑Llkxl
여기서 Lij는 제2 기본형식의 계수, [gil]은 제1 기본형식 계수행렬의 역행렬이다.
X=Xixi,Y=Yjxj라고 하자. 그러면 바인가르텡 맵의 성질에 의해 다음이 성립한다. 아인슈타인 노테이션을 사용하면,
⟨L(X),Y⟩======= ⟨XiLlixl,Yjxj⟩ XiYjLli⟨xl,xj⟩ XiYjLliglj XiYjLkigklglj XiYjLkiδjk XiYjLji II(X,Y)
⟨X,L(Y)⟩에 대해서도 위와 같은 방법으로 같은 결과를 얻는다.
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