logo

직교좌표계 단위벡터를 구면좌표계의 단위벡터로 나타내기 📂수리물리

직교좌표계 단위벡터를 구면좌표계의 단위벡터로 나타내기

공식

직교좌표계의 단위벡터를 구면좌표계의 단위벡터로 나타낸 식은 아래와 같다. x^=cos⁡ϕsin⁡θr^+cos⁡ϕcos⁡θθ^−sin⁡ϕϕ^y^=sin⁡ϕsin⁡θr^+sin⁡ϕcos⁡θθ^+cos⁡ϕϕ^z^=cos⁡θr^−sin⁡θθ^ \begin{align*} \hat{ \mathbf{x} }&= \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{y} } &= \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{z} } &= \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } \end{align*}

구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 나타내면 아래와 같다. (구면좌표계와 직교좌표계의 관계)

r^=cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^θ^=cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^ϕ^=−sin⁡ϕx^+cos⁡ϕy^ \begin{align*} \hat{ \mathbf{r} } &= \cos\phi \sin\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \sin\theta\hat{ \mathbf{y} } + \cos\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos\phi \cos\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \cos\theta\hat{ \mathbf{y} } - \sin\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= -\sin\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

유도

단위벡터 x^\hat{\mathbf{x}}

x^\hat{ \mathbf{x} }을 구하려면 r^, θ^, ϕ^\hat{ \mathbf{r} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\phi} }에 적당한 수를 곱한뒤 더했을 때 y^, z^\hat{ \mathbf{y} } ,\ \hat{ \mathbf{z} }항이 사라지도록 하면 된다. 살펴보면 r^\hat{ \mathbf{r} }에 sin⁡θ\sin \theta를 곱하고 θ^\hat{ \boldsymbol{\theta} }에 cos⁡θ\cos \theta를 곱해서 더해주면 z^\hat{ \mathbf{z} }항이 사라짐을 알 수 있다.

sin⁡θr^+cos⁡θθ^=(cos⁡ϕsin⁡2θ+cos⁡ϕcos⁡2θ)x^+(sin⁡ϕsin⁡2θ+sin⁡ϕcos⁡2θ)y^=cos⁡ϕx^+sin⁡ϕy^ \begin{align*} & \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } \\ &= (\cos \phi \sin^2 \theta + \cos \phi \cos^2\theta)\hat{ \mathbf{x} } + (\sin \phi \sin^2 \theta + \sin \phi \cos^2 \theta)\hat{ \mathbf{y} } \\ &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } +\sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

또 이렇게 나온 결과에 cos⁡ϕ\cos \phi를 곱하고 ϕ^\hat{ \boldsymbol{\phi} }에 −sin⁡ϕ-\sin \phi를 곱해서 더해주면 깔끔하게 x^\hat{ \mathbf{x} }를 구할 수 있다.

cos⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)−sin⁡ϕϕ^=(cos⁡2ϕx^+cos⁡ϕsin⁡ϕy^)+(sin⁡2ϕx^−sin⁡ϕcos⁡ϕy^)=x^ \begin{align*} & \cos \phi (\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} })-\sin \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ &= (\cos^2\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos \phi \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } ) + (\sin^2\phi \hat{ \mathbf{x} } -\sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{y} } ) \\ &= \hat{ \mathbf{x} } \end{align*}

따라서 정리하면 아래와 같다.

x^=cos⁡ϕsin⁡θr^+cos⁡ϕcos⁡θθ^−sin⁡ϕϕ^ \hat{ \mathbf{x} } = \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} }

단위벡터 y^\hat{\mathbf{y}}

방법은 x^\hat{ \mathbf{x} }의 경우와 같으니 설명없이 수식만 적겠다. z^\hat{ \mathbf{z} }항을 없애는 부분은 x^\hat{ \mathbf{x} }의 경우와 같다.

sin⁡θr^+cos⁡θθ^=cos⁡ϕx^+sin⁡ϕy^  ⟹  sin⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)=sin⁡ϕcos⁡ϕx^+sin⁡2ϕy^ \begin{align*} &&\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \\ \implies&& \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } ) &= \sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin^2\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

이고

cos⁡ϕϕ^=−sin⁡ϕcos⁡ϕx^+cos⁡2ϕy^ \cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} }=-\sin\phi\cos\phi\hat{ \mathbf{x} }+\cos^2\phi\hat{ \mathbf{y} }

이므로 다음과 같다.

sin⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)+cos⁡ϕϕ^=(cos⁡2ϕ+sin⁡2ϕ)y^=y^ \begin{align*} && \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } )+\cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= (\cos^2\phi + \sin^2\phi )\hat{ \mathbf{y} } \\ && &= \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

∴y^=sin⁡ϕsin⁡θr^+sin⁡ϕcos⁡θθ^+cos⁡ϕϕ^ \therefore \hat{ \mathbf{y} } = \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi \hat{ \boldsymbol{\phi} }

단위벡터 z^\hat{\mathbf{z}}

z^\hat{ \mathbf{z} }항이 남아야 하므로 r^\hat{ \mathbf{r} }에 cos⁡θ\cos\theta를 곱하고 θ^\hat{ \boldsymbol{\theta} }에 −sin⁡θ-\sin\theta를 곱해서 더하면 아래와 같다.

cos⁡θr^−sin⁡θθ^=cos⁡θ(cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^)−sin⁡θ(cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^)=(sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕx^+sin⁡θcos⁡θsin⁡ϕy^+cos⁡2θz^)+(−sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕx^−sin⁡θcos⁡θsin⁡ϕy^+sin⁡2θz^)=(cos⁡2θ+sin⁡2θ)z^=z^ \begin{align*} \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } -\sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &=\cos\theta (\cos \phi \sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\sin \phi \sin \theta \hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}}) \\ &\quad -\sin \theta (\cos \phi \cos \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \phi \cos \theta \hat{\mathbf{y}} -\sin \theta \hat{\mathbf{z}}) \\ &= (\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} }+ \cos^2\theta \hat{ \mathbf{z} }) \\ &\quad +(-\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} }-\sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} } + \sin^2{\theta} \hat{ \mathbf{z} }) \\ &= (\cos^2\theta + \sin ^2 \theta ) \hat{ \mathbf{z} } \\ &= \hat{ \mathbf{z} } \end{align*}

∴z^=cos⁡θr^−sin⁡θθ^ \therefore \hat{ \mathbf{z} } = \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} }