📂초함수론

초함수의 곱의 미분법

정리¹

$T\in D^{\ast}$를 초함수, $f \in C^{\infty}$를 스무스 함수라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

$$(fT)^{\prime}= f^{\prime}T+fT^{\prime}$$

설명

기존의 곱의 미분법과 찰떡같이 잘 맞으니 초함수의 미분과 초함수의 곱이 그럴듯하게 정의됐음을 느낄 수 있다.

증명

초함수 미분과 곱의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} D( fT (\phi) ) &= D( T(f\phi) ) \\ &= T\left( (f\phi)^{\prime} \right) \\ &= T(f^{\prime}\phi+f\phi^{\prime}) \\ &= T(f^{\prime}\phi)+T(f\phi^{\prime}) \\ &=f^{\prime}T(\phi)+fT(\phi^{\prime}) \\ &= f^{\prime}T(\phi)+fT^{\prime}(\phi) \end{align*}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$(fT)^{\prime}=f^{\prime}T+fT^{\prime}$$

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