📂位相幾何学

位相空間における最大最小値定理の証明

定理 ¹

コンパクト空間$X$に対して関数$f : X \to \mathbb{R}$が連続であれば、すべての$x \in X$に対して$f(c) \le f(x) \le f(d)$を満たす$c,d \in X$が存在する。

説明

$\mathbb{R}$においてコンパクトとは閉区間$[a,b]$であることと同値であるから、結局は我々が高校や解析学で学んだ定理の一般化となる。位相数学の難しい理論を用いる分、証明はむしろ簡単で易しい。

証明

コンパクト空間に対する補題: $f : X \to Y$に対して$X$がコンパクト、$f$が連続であるとしよう。

• [2]: $Y$がハウスドルフなら$f$は閉写像である。閉集合$C \subset X$に対して$f(C) \subset Y$は閉集合である。

$f(X)$はコンパクトであるから、開被覆$\mathcal{O} := \left\{ (-n,n) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$に対して $$ f(X) \subset \bigcup_{n=1}^{m} (-n , n) \subset \mathcal{O} $$ を満たす$m$が存在する。補題1により$f(X)$は有界であり、$\mathbb{R}$はハウスドルフ空間であるから補題[2]により全体集合$X \subset X$のイメージ$f(X)$は$\mathbb{R}$において閉集合である。$f(X)$が有界であるから完備性公理により $$ u := \sup f(X) \\ l : = \inf f(X) $$ が存在する。$f(X)$が閉集合であるから $$ u, l \in f(X) \\ f(c) = l \\ f(d) = u $$ を満たすある$c,d \in X$が存在しなければならない。この$c,d$はすべての$x \in X$に対して$f(c) \le f(x) \le f(d)$を満たす。

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関連リンク

• 距離空間における最大最小定理