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횔더 반대 부등식 📂르벡공간

횔더 반대 부등식

정리1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}열린 집합이라고 하자. 0<p<10 < p < 1이고 p=pp1<0p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1} < 0라고 하자. 만약 uu \in Lp(Ω)L^{p}(\Omega), uvuv\in L1(Ω)L^{1}(\Omega)이고

0<Ωv(x)pdx< \begin{equation} 0 \lt \int_{\Omega} |v(x)|^{p^{\prime}}dx \lt \infty \end{equation}

이면, 아래의 부등식이 성립한다.

Ωu(x)v(x)dx(Ωu(x)pdx)1/p(Ωv(x)pdx)1/p \int_{\Omega} |u(x)v(x)|dx \ge \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p} dx \right)^{1/p} \left( \int_{\Omega} |v(x)|^{p^{\prime}} dx \right) ^{1/p^{\prime}}

설명

이를 횔더 반대 부등식reverse Höelder’s inequality이라 한다. 횔더 부등식이라는 명제의 역converse이 아니라 부등호의 방향이 반대reverse인 것이다. 횔더 부등식과 비교했을 때 정확하게 반대 방향의 부등호가 성립하게 된다.

  • 횔더 부등식: 1p1 \le p \le \infty일 때 우변이 크고,
  • 횔더 반대 부등식: 0<p<10 < p < 1일 때 좌변이 크다.

여기서 알아둬야할 것이 있다. up\| u \|_{p}는 다음과 같이 정의되는데 이는 1p<1 \le p < \infty일 때만 LpL^{p} 공간의 놈이 된다.

up:=(u(x)pdx)1/p \| u \|_{p} :=\left( \int |u(x)|^p dx \right)^{1/p}

그 외의 경우에 up\| u \|_{p}LpL^{p} 공간의 놈이 아니다. 따라서 0<p<10 < p < 1일 때 부등식 우변의 적분은 각각 놈 p\left\| \cdot \right\|_{p}, p\left\| \cdot \right\|_{p^{\prime}}이 아님에 주의하자.

또한 uvL1uv \in L^{1}이라는 가정이 없으면 부등식의 의미가 없으므로 당연한 가정이다.

증명

ϕ=vp\phi = | v |^{-p}이고 ψ=uvp\psi = | uv |^{p}라고 하자. 그러면 ϕψ=up\phi\psi=| u |^{p}이다. 그리고 q=1pq = \dfrac{1}{p}라고 두면 0<p<10 < p < 1이므로 1<q<1 < q < \infty이다. 또한 uvL1uv \in L^1라는 가정에 의해 ψLq\psi \in L^q인 것을 확인할 수 있다.

ψqdx=uvpqdx=uvdx< \int |\psi|^q dx=\int |uv|^{pq}dx=\int |uv| dx <\infty

그리고 q=q/(q1)q^{\prime} = q/(q-1)이라고 두면 1<q<1 < q < \infty이므로, 1<q<1 < q^{\prime} < \infty이고 p=pqp^{\prime} = -pq^{\prime}이다.

p=pp1=111p=11q=1ppq1=qpq1=pq p^{\prime}=\frac{p}{p-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{1}{1-q}=-\frac{1}{p}\frac{p}{q-1}=-q\frac{p}{q-1}=-pq^{\prime}

그러면 가정 (1)(1)에 의해 ϕLq\phi \in L^{q^{\prime}}임을 보일 수 있다.

ϕqdx=vpqdx=vpdx< \int |\phi |^{q^{\prime}} dx = \int |v|^{-pq^{\prime}} dx =\int |v|^{p^{\prime}} dx<\infty

그러면 1<q,q<1 < q, q^{\prime} < \infty이고 ψLp,ϕLq\psi \in L^{p}, \phi \in L^{q^{\prime}}이므로 횔더 부등식을 적용하면,

u(x)pdx= ϕ(x)ψ(x)dxψqϕq= (u(x)v(x)pqdx)1/q(v(x)pqdx)1/q= (u(x)v(x)dx)p(v(x)pdx)p/p \begin{align*} \int |u(x)|^pdx =&\ \int \left| \phi (x)\psi (x) \right| dx \\ \le& \| \psi \|_{q} \| \phi \|_{q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int |u(x)v(x)|^{pq} dx\right)^{1/q} \left( \int | v(x) |^{-pq^{\prime}}dx \right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int |u(x)v(x)| dx\right)^{p} \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{-p / p^{\prime}} \end{align*}

여기서 양변에 (vpdx)p/p\displaystyle \left(\int |v|^{p^{\prime}}dx \right)^{p/p^{\prime}}을 곱하면

(u(x)pdx)(v(x)pdx)p/p(u(x)v(x)dx)p \left( \int |u(x)|^{p} dx \right) \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{p / p^{\prime}} \le \left( \int |u(x)v(x)| dx\right)^{p}

마지막으로 양변의 지수에 1p\dfrac{1}{p}을 곱해주면

(u(x)pdx)1/p(v(x)pdx)1/pu(x)v(x)dx \left( \int |u(x)|^pdx \right)^{1/p} \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{ 1 / p^{\prime}} \le \int |u(x)v(x)| dx


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p27-28 ↩︎