횔더 반대 부등식
📂르벡공간횔더 반대 부등식
정리
Ω⊂Rn를 열린 집합이라고 하자. 0<p<1이고 p′=p−1p<0라고 하자. 만약 u∈ Lp(Ω), uv∈ L1(Ω)이고
0<∫Ω∣v(x)∣p′dx<∞
이면, 아래의 부등식이 성립한다.
∫Ω∣u(x)v(x)∣dx≥(∫Ω∣u(x)∣pdx)1/p(∫Ω∣v(x)∣p′dx)1/p′
설명
이를 횔더 반대 부등식reverse Höelder’s inequality이라 한다. 횔더 부등식이라는 명제의 역converse이 아니라 부등호의 방향이 반대reverse인 것이다. 횔더 부등식과 비교했을 때 정확하게 반대 방향의 부등호가 성립하게 된다.
- 횔더 부등식: 1≤p≤∞일 때 우변이 크고,
- 횔더 반대 부등식: 0<p<1일 때 좌변이 크다.
여기서 알아둬야할 것이 있다. ∥u∥p는 다음과 같이 정의되는데 이는 1≤p<∞일 때만 Lp 공간의 놈이 된다.
∥u∥p:=(∫∣u(x)∣pdx)1/p
그 외의 경우에 ∥u∥p는 Lp 공간의 놈이 아니다. 따라서 0<p<1일 때 부등식 우변의 적분은 각각 놈 ∥⋅∥p, ∥⋅∥p′이 아님에 주의하자.
또한 uv∈L1이라는 가정이 없으면 부등식의 의미가 없으므로 당연한 가정이다.
증명
ϕ=∣v∣−p이고 ψ=∣uv∣p라고 하자. 그러면 ϕψ=∣u∣p이다. 그리고 q=p1라고 두면 0<p<1이므로 1<q<∞이다. 또한 uv∈L1라는 가정에 의해 ψ∈Lq인 것을 확인할 수 있다.
∫∣ψ∣qdx=∫∣uv∣pqdx=∫∣uv∣dx<∞
그리고 q′=q/(q−1)이라고 두면 1<q<∞이므로, 1<q′<∞이고 p′=−pq′이다.
p′=p−1p=1−p11=1−q1=−p1q−1p=−qq−1p=−pq′
그러면 가정 (1)에 의해 ϕ∈Lq′임을 보일 수 있다.
∫∣ϕ∣q′dx=∫∣v∣−pq′dx=∫∣v∣p′dx<∞
그러면 1<q,q′<∞이고 ψ∈Lp,ϕ∈Lq′이므로 횔더 부등식을 적용하면,
∫∣u(x)∣pdx=≤== ∫∣ϕ(x)ψ(x)∣dx∥ψ∥q∥ϕ∥q′ (∫∣u(x)v(x)∣pqdx)1/q(∫∣v(x)∣−pq′dx)1/q′ (∫∣u(x)v(x)∣dx)p(∫∣v(x)∣p′dx)−p/p′
여기서 양변에 (∫∣v∣p′dx)p/p′을 곱하면
(∫∣u(x)∣pdx)(∫∣v(x)∣p′dx)p/p′≤(∫∣u(x)v(x)∣dx)p
마지막으로 양변의 지수에 p1을 곱해주면
(∫∣u(x)∣pdx)1/p(∫∣v(x)∣p′dx)1/p′≤∫∣u(x)v(x)∣dx
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