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횔더 반대 부등식

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $0 < p < 1$이고 $p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1} < 0$라고 하자. 만약 $u \in$ $L^{p}(\Omega)$, $uv\in$ $L^{1}(\Omega)$이고

$$ \begin{equation} 0 \lt \int_{\Omega} |v(x)|^{p^{\prime}}dx \lt \infty \end{equation} $$

이면, 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)|dx \ge \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p} dx \right)^{1/p} \left( \int_{\Omega} |v(x)|^{p^{\prime}} dx \right) ^{1/p^{\prime}} $$

설명

이를 횔더 반대 부등식^{reverse Höelder’s inequality}이라 한다. 횔더 부등식이라는 명제의 역^converse이 아니라 부등호의 방향이 반대^reverse인 것이다. 횔더 부등식과 비교했을 때 정확하게 반대 방향의 부등호가 성립하게 된다.

• 횔더 부등식: $1 \le p \le \infty$일 때 우변이 크고,
• 횔더 반대 부등식: $0 < p < 1$일 때 좌변이 크다.

여기서 알아둬야할 것이 있다. $\| u \|_{p}$는 다음과 같이 정의되는데 이는 $1 \le p < \infty$일 때만 $L^{p}$ 공간의 놈이 된다.

$$ \| u \|_{p} :=\left( \int |u(x)|^p dx \right)^{1/p} $$

그 외의 경우에 $\| u \|_{p}$는 $L^{p}$ 공간의 놈이 아니다. 따라서 $0 < p < 1$일 때 부등식 우변의 적분은 각각 놈 $\left\| \cdot \right\|_{p}$, $\left\| \cdot \right\|_{p^{\prime}}$이 아님에 주의하자.

또한 $uv \in L^{1}$이라는 가정이 없으면 부등식의 의미가 없으므로 당연한 가정이다.

증명

$\phi = | v |^{-p}$이고 $\psi = | uv |^{p}$라고 하자. 그러면 $\phi\psi=| u |^{p}$이다. 그리고 $q = \dfrac{1}{p}$라고 두면 $0 < p < 1$이므로 $1 < q < \infty$이다. 또한 $uv \in L^1$라는 가정에 의해 $\psi \in L^q$인 것을 확인할 수 있다.

$$ \int |\psi|^q dx=\int |uv|^{pq}dx=\int |uv| dx <\infty $$

그리고 $q^{\prime} = q/(q-1)$이라고 두면 $1 < q < \infty$이므로, $1 < q^{\prime} < \infty$이고 $p^{\prime} = -pq^{\prime}$이다.

$$ p^{\prime}=\frac{p}{p-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{1}{1-q}=-\frac{1}{p}\frac{p}{q-1}=-q\frac{p}{q-1}=-pq^{\prime} $$

그러면 가정 $(1)$에 의해 $\phi \in L^{q^{\prime}}$임을 보일 수 있다.

$$ \int |\phi |^{q^{\prime}} dx = \int |v|^{-pq^{\prime}} dx =\int |v|^{p^{\prime}} dx<\infty $$

그러면 $1 < q, q^{\prime} < \infty$이고 $\psi \in L^{p}, \phi \in L^{q^{\prime}}$이므로 횔더 부등식을 적용하면,

$$ \begin{align*} \int |u(x)|^pdx =&\ \int \left| \phi (x)\psi (x) \right| dx \\ \le& \| \psi \|_{q} \| \phi \|_{q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int |u(x)v(x)|^{pq} dx\right)^{1/q} \left( \int | v(x) |^{-pq^{\prime}}dx \right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int |u(x)v(x)| dx\right)^{p} \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{-p / p^{\prime}} \end{align*} $$

여기서 양변에 $\displaystyle \left(\int |v|^{p^{\prime}}dx \right)^{p/p^{\prime}}$을 곱하면

$$ \left( \int |u(x)|^{p} dx \right) \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{p / p^{\prime}} \le \left( \int |u(x)v(x)| dx\right)^{p} $$

마지막으로 양변의 지수에 $\dfrac{1}{p}$을 곱해주면

$$ \left( \int |u(x)|^pdx \right)^{1/p} \left( \int | v(x) |^{p^{\prime}}dx \right)^{ 1 / p^{\prime}} \le \int |u(x)v(x)| dx $$

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