유사벡터란

도입

좌표계의 방향

$3$차원 공간에 두 직교 좌표계 $S = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\}$와 $S^{\prime} = \left\{ \mathbf{e}_{1}^{\prime}, \mathbf{e}_{2}^{\prime}, \mathbf{e}_{3}^{\prime} \right\}$이 있다고 하자. 가령 $S = \left\{ \hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}, \hat{\mathbf{z}} \right\}$, $S^{\prime} = \left\{ \hat{\mathbf{x}}, 2\hat{\mathbf{y}}, 3\hat{\mathbf{z}} \right\}$라고 하자. 어떤 벡터 $\mathbf{r}$의 $S$에 대한 좌표가 다음과 같다고 하자.

$$ \mathbf{r}_{S} = 1 \cdot \hat{\mathbf{x}} + 2 \cdot \hat{\mathbf{y}} + 3 \cdot \hat{\mathbf{z}} = (1,2,3)_{S} $$

하나의 벡터는 어떤 좌표계를 기준으로 해도 그 자체는 변하지 않으므로, $S^{\prime}$에 대한 좌표는 아래와 같아야 한다.

$$ \mathbf{r}_{S^{\prime}} = 1 \cdot \hat{\mathbf{x}} + 1 \cdot 2\hat{\mathbf{y}} + 1 \cdot 3\hat{\mathbf{z}} = (1,1,1)_{S^{\prime}} $$

이때 두 좌표의 변환은 다음과 같은 행렬 $Q$로 이루어진다.

$$ Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}_{S^{\prime}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}_{S} $$

이처럼 같은 벡터라도 어떤 좌표계를 선택하느냐에 따라서 좌표가 달라진다. 한편 또다른 좌표계 $S^{\prime \prime} = \left\{ \hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}, -\hat{\mathbf{z}} \right\}$를 선택하면 같은 벡터 $\mathbf{r}$의 좌표는 다음과 같다.

$$ \mathbf{r}_{S^{\prime \prime}} = 1 \cdot \hat{\mathbf{x}} + 2 \cdot \hat{\mathbf{y}} + (-3) \cdot (- \hat{\mathbf{z}}) = (1, 2, -3)_{S^{\prime \prime}} $$

$S \to S^{\prime}$에서도 $S \to S^{\prime \prime}$에서도 좌표는 달라졌지만, 두 변화는 성격이 다르다. $S^{\prime}$은 축의 눈금만 늘린 것이라 축이 가리키는 쪽은 그대로인 반면, $S^{\prime \prime}$은 $z$축이 가리키는 쪽 자체를 반대로 돌려놓았다. 이 차이를 재는 것이 좌표계의 방향^orientation이다.

새 좌표계의 기저벡터를 원래 좌표계의 좌표로 적어 열에 늘어놓은 행렬을 생각하자. 위의 두 좌표계에 대해서는 각각 다음과 같다.

$$ P_{S \to S^{\prime}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} , \qquad P_{S \to S^{\prime \prime}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$

두 좌표계의 방향이 같은지 다른지는 이 행렬의 행렬식 부호로 판별한다. 양수이면 같은 방향, 음수이면 다른 방향이다.

$$ \det P_{S \to S^{\prime}} = 6 > 0 , \qquad \det P_{S \to S^{\prime \prime}} = -1 < 0 $$

$\mathbb{R}^{3}$의 표준기저 $\left\{ \hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}, \hat{\mathbf{z}} \right\}$와 같은 방향인 좌표계를 오른손 좌표계^right-handed, 다른 방향인 좌표계를 왼손 좌표계^left-handed라 한다. 위의 $S^{\prime}$은 오른손 좌표계이고 $S^{\prime \prime}$은 왼손 좌표계다.

방향을 뒤집으면 생기는 일

위에서는 좌표계의 조건에 아무런 제한을 두지 않았지만, 이제부터는 기저벡터가 서로 수직이고 길이가 모두 $1$인 정규직교좌표계만 생각하자. 이때 좌표변환행렬은 직교행렬 $Q$가 되어 $\det Q = \pm 1$이다.

$S$를 오른손 좌표계라 하고, $z$축만 뒤집은 좌표계를 다시 $S^{\prime}$라 하자. (위에서의 $S^{\prime}$과 다르다.)

$$ \mathbf{e}_{1}^{\prime} = \mathbf{e}_{1}, \qquad \mathbf{e}_{2}^{\prime} = \mathbf{e}_{2}, \qquad \mathbf{e}_{3}^{\prime} = - \mathbf{e}_{3} $$

이때 $Q = \diag(1, 1, -1)$이고 $\det Q = -1$이므로 $S^{\prime}$은 왼손 좌표계다.

이제 공간에 화살표 두 개를 놓자. 하나는 $\mathbf{e}_{1}$ 방향, 다른 하나는 $\mathbf{e}_{2}$ 방향이다. 둘 다 $xy$평면 안에 있어서 $z$축을 뒤집어도 성분이 달라지지 않는다.

	$S$에서의 성분	$S^{\prime}$에서의 성분
첫째 화살표	$(1, 0, 0)$	$(1, 0, 0)$
둘째 화살표	$(0, 1, 0)$	$(0, 1, 0)$

두 좌표계에서 각각 외적의 성분 공식을 그대로 적용하면 양쪽 모두 $(0, 0, 1)$이 나온다. 그런데 $S$에서의 $(0, 0, 1)$은 $\mathbf{e}_{3}$ 방향 화살표를 가리키고, $S^{\prime}$에서의 $(0, 0, 1)$은 $\mathbf{e}_{3}^{\prime} = -\mathbf{e}_{3}$ 방향 화살표를 가리킨다. 같은 계산을 했는데 공간에서는 정반대를 가리키는 것이다.

성분만 놓고 다시 보자. 외적의 결과가 위치와 같은 방식으로 변환된다면 $S^{\prime}$에서의 성분은 다음이어야 했다.

$$ Q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$

그러나 실제로 얻은 것은 $(0, 0, 1)$이다. 부호가 하나 어긋났고, 그 어긋남의 크기가 정확히 $\det Q = -1$이다.

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = (\det Q) Q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

원인은 분명하다. 외적의 성분 공식은 오른손 좌표계를 전제하고 만들어진 것이라, 왼손 좌표계에서 같은 공식을 쓰면 방향 규약이 한 번 더 뒤집힌다. 그래서 외적으로 만들어지는 양들은 위치나 속도와는 애초에 다른 변환법칙을 따를 수밖에 없다. 이 둘을 갈라 이름 붙이는 것이 아래의 정의다.

정의

도입에서와 같이 두 정규직교좌표계 $S$, $S^{\prime}$과 그 사이의 직교행렬 $Q \in \operatorname{O}(3)$을 생각하자. 어떤 물리량을 두 좌표계에서 각각 재어 성분 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{v}^{\prime}$을 얻었다고 할 때, 두 좌표계를 어떻게 잡더라도 다음이 성립하면 이 물리량을 극벡터^{polar vector}라 한다.

$$ \mathbf{v}^{\prime} = Q \mathbf{v} $$

같은 방식으로 재어 성분 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{a}^{\prime}$을 얻은 물리량이 다음을 만족하면 유사벡터^pseudovector 혹은 축벡터^{axial vector}라 한다.

$$ \mathbf{a}^{\prime} = (\det Q) Q \mathbf{a} $$

설명

직교행렬의 행렬식은 $\det Q = \pm 1$이고, 그중 $\det Q = 1$인 것들이 회전, 즉 특수직교군 $\operatorname{SO}(3)$의 원소다. 회전에 대해서는 다음이 성립한다.

$$ R \in \operatorname{SO}(3) \implies (\det R) R = R $$

따라서 회전변환으로는 극벡터와 유사벡터가 구분되지 않는다. 차이점은 보이는 것은 직교군 $\operatorname{O}(3)$의 나머지, 즉 $\det Q = -1$인 반사와 공간반전처럼 공간의 방향 ^orientation을 뒤집는 변환에서다. 원점대칭인 좌표변환 $Q = -I$은 $3$차원에서 $\det(-I) = (-1)^{3} = -1$이므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \mathbf{v}^{\prime} &= (-I) \mathbf{v} = -\mathbf{v} \\ \mathbf{a}^{\prime} &= \left( \det (-I) \right)(-I) \mathbf{a} = (-1)(- \mathbf{a}) = \mathbf{a} \end{align*} $$

원점 대칭인 좌표변환을 했을 때 우리가 생각하는 직관적인 벡터(=극벡터)는 방향이 반대가 되지만, 유사벡터는 그렇지 않다. 반사도 마찬가지다. $xy$평면에 대한 반사 $Q = \diag(1, 1, -1)$을 생각해보면 $\det Q = -1$이므로 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{v}^{\prime} &= Q \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, -v_{3}) \\ \mathbf{a}^{\prime} &= (\det Q) Q \mathbf{a} = -(a_{1}, a_{2}, -a_{3}) = (-a_{1}, -a_{2}, a_{3}) \end{align*} $$

극벡터는 거울면 안의 성분을 그대로 두고 거울면에 수직인 $z$성분의 부호만 바꾸는 반면, 유사벡터는 정확히 그 반대로 수직 성분을 남기고 면 안의 두 성분을 뒤집는다. 두 극벡터의 외적이 실제로 이렇게 변한다는 사실은 아래 성질에서 확인할 수 있다.

"유사"의 의미

이름은 유사벡터이지만 선형대수적으로는 엄연히 벡터가 맞다. 좌표변환이 적용되는 방식의 차이에 따라 극벡터와 유사벡터를 나눈 것이므로 둘 다 $\mathbb{R}^{3}$ 내의 3차원 벡터이다. 즉 사실 "유사"가 꾸미는 대상은 벡터 그 자체가 아니라 벡터가 좌표변환을 따르는 규칙인 것이다.

예시

	목록
극벡터	위치 $\mathbf{r}$, 속도 $\mathbf{v}$, 운동량 $\mathbf{p}$, 힘 $\mathbf{F}$, 전기장 $\mathbf{E}$
유사벡터	각속도 $\boldsymbol{\omega}$, 각운동량 $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$, 토크 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, 자기장 $\mathbf{B}$

각운동량과 토크가 유사벡터인 것은 극벡터끼리의 외적이므로 $(1)$에서 곧바로 따라온다. 자기장은 로런츠 힘 법칙 $\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}$에서 알 수 있다. 좌변의 힘과 속도가 모두 극벡터이므로, 등식이 성립하려면 $\mathbf{B}$는 유사벡터여야 한다. 이처럼 유사벡터의 구분은 새로 세운 식이 말이 되는지를 검사하는 도구가 되기도 한다.

회전에 대해서는 스칼라처럼 변환되지만 공간반전에서 부호가 바뀌는 양은 유사스칼라^pseudoscalar라 하며, 세 극벡터의 스칼라 삼중곱 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$가 대표적인 예다.

어려운 정의

위의 정의는 좌표계를 먼저 도입하고 성분이 어떻게 얻어지는지를 말로 서술해야 한다. 표현의 말을 빌리면 좌표계를 언급하지 않고 정의할 수 있다. 직교군 $\operatorname{O}(3)$에 대해서 다음 두 사상을 생각하자.

$$ \rho^{+}(Q) := Q, \qquad \rho^{-}(Q) := (\det Q) Q $$

행렬식이 준동형사상이므로 둘 다 $\operatorname{O}(3)$의 표현이다.

$$ \rho^{-}(Q_{1}Q_{2}) = \det(Q_{1}Q_{2}) Q_{1}Q_{2} = \left[ (\det Q_{1}) Q_{1} \right] \left[ (\det Q_{2}) Q_{2} \right] = \rho^{-}(Q_{1}) \rho^{-}(Q_{2}) $$

$\rho^{+}$를 얹은 $\mathbb{R}^{3}$의 원소를 극벡터, $\rho^{-}$를 얹은 $\mathbb{R}^{3}$의 원소를 유사벡터라 한다. 이렇게 두면 어떤 삼중항이 유사벡터인지가 그 삼중항 자체의 성질이 아니라 그것이 놓인 공간에 직교군이 어떻게 작용하는가의 문제임이 정의에서 곧바로 드러난다. 두 표현은 $\operatorname{SO}(3)$으로 제한하면 같아지지만 $\operatorname{O}(3)$의 기약표현으로서는 서로 동형이 아니며, 이것이 회전만으로는 둘이 구별되지 않는 이유다.

성질

두 극벡터의 외적은 유사벡터다. $Q \in \operatorname{O}(3)$과 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ (Q \mathbf{u}) \times (Q \mathbf{v}) = (\det Q) Q (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \tag{1} $$

$\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 극벡터라면 좌변은 변환된 두 벡터의 외적이므로, $(1)$은 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$가 정확히 유사벡터의 변환법칙을 따른다는 말이 된다.

증명

임의의 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3}$에 대해서 스칼라 삼중곱은 세 벡터를 행으로 갖는 행렬의 행렬식이므로 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \left[ (Q\mathbf{u}) \times (Q\mathbf{v}) \right] \cdot (Q \mathbf{w}) &= \det \begin{bmatrix} (Q\mathbf{u})^{\mathsf{T}} \\ (Q\mathbf{v})^{\mathsf{T}} \\ (Q\mathbf{w})^{\mathsf{T}} \end{bmatrix} = \det \left( \begin{bmatrix} \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{v}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{w}^{\mathsf{T}} \end{bmatrix} Q^{\mathsf{T}} \right) \\ &= (\det Q) \det \begin{bmatrix} \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{v}^{\mathsf{T}} \\ \mathbf{w}^{\mathsf{T}} \end{bmatrix} = (\det Q) \left[ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} \right] \end{align*} $$

한편 직교행렬은 내적을 보존하므로 다음이 성립한다.

$$ \left[ (\det Q) Q (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \right] \cdot (Q \mathbf{w}) = (\det Q) \left[ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} \right] $$

$Q$는 가역이므로 $\mathbf{w}$가 $\mathbb{R}^{3}$ 전체를 훑으면 $Q\mathbf{w}$도 $\mathbb{R}^{3}$ 전체를 훑는다. 양변의 두 벡터가 모든 벡터와 같은 내적을 가지므로 두 벡터는 서로 같다.

■