📂抽象代数

理想を持つ単元

定理 ¹

• [1]: 単位元$1$を持つ環$R$のイデアル$I$が単元を持つなら$I = R$
• [2]: 体$F$は$\left\{ 0 \right\}$であり、$F$以外のイデアルを持たない。

説明

要約[1]は、イデアルに単元があるだけで全体になるとする補助定理で、背理法による証明に頻繁に使われる。また、単位元は単元である点から、まともなイデアルは$1$を含まないことを保証する。例えば$\mathbb{Z}$のイデアルは $$n \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\}$$ のようなものがあり、$1$が含まれる瞬間に$1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$そのものになる。

要約[2]は、体が適切な非自明なイデアルを持つことができないということを意味している。これは、事実上イデアルが環の概念であることを示唆している。

証明

[1]

$I$に含まれる単元の一つを$u$としよう。

$r : = u^{-1}$とすると$u^{-1} u = 1$であり、$r I \subset I$だから$r \cdot u = 1$も$I$に含まれる。イデアルの定義から、全ての$r \in R$に対して$r I \subset I$だったので、$r \cdot 1 = r \in I$であり、$R \subset I$

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[2]

$F$は体であるため$0$以外の全ての元が単元であり、要約[1]により$\left\{ 0 \right\}$以外のイデアルは$F$そのものになる。

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