整数論におけるシグマ関数
定理
$\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d$ について、次のことが成り立つ。
- [1]: 素数 $p$ に対して、 $$\sigma ( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}$$
- [2]: $\gcd (n , m ) = 1$ ならば、 $$\sigma (nm) = \sigma (n) \sigma (m)$$
説明
シグマ関数は、簡単に言えば約数の和で、例えば $6$ においては $\sigma (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ である。解析的整数論では、ディバイザー関数に一般化される。
また、シグマ関数を述べることで、完全数perfect numberをきれいに定義することができる。完全数とは、その数自身を除く約数の和が自分自身と等しくなる数のことだ。従って、$\sigma (n) = 2n$ を満たす $n$ を完全数と定義すれば良い。
証明
[1]
$$ \sigma ( p^k ) = 1 + p + \cdots + p^{k} = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}} $$
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[2]
$n$ の約数を $1, d_{n1}, d_{n2}, \cdots, d_{nN}, n$、そして $m$ の約数を $1, d_{m1}, d_{m2}, \cdots, d_{mM}, m$ としよう。
$\gcd(n,m) = 1$ だから、 $$ \sum_{d \mid nm} d = 1 + d_{n1} + d_{m1} + d_{n1} d_{m1} + \cdots + nm $$、 まとめると、 $$ \sum_{d \mid nm} d = (1 + d_{n1} + \cdots + n ) (1 + d_{m1} + \cdots + m) = \sum_{d | n} d_{n} \sum_{d | m} d_{m} $$
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