📂解析学

フレネル正弦積分のマクローリン級数展開

式

$$S(x) = \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw = \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3}$$

説明

フレネルは光学を研究していた物理学者であり、彼の名がついた結果は大体三角関数が関与している。三角関数は波動関数と深い関連があるので、存在しない公式を作り出すまでにも研究を行わなければならなかったのだろう。

これらの研究が光学にどのように貢献したのかはわからないが、少なくとも三角関数の微積分には確実に大きな影響を与えた。

証明

サイン関数のマクローリン展開は$\displaystyle \sin x = x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} + {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots$である。したがって、

$$\sin x^2 = x^2 - {{x^{6}} \over {3!}} + {{x^{10}} \over {5!}} + {{x^{14}} \over {7!}} + \cdots$$

ゆえに、

$$\begin{align*} S(x) =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \left( w^2 - {{w^{6}} \over {3!}} + {{w^{10}} \over {5!}} + {{w^{14}} \over {7!}} + \cdots \right) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \left( {{1}\over{3}} {{x^{3}} \over {1!}} - {{1}\over{7}}{{x^{7}} \over {3!}} + {{1}\over{11}}{{x^{11}} \over {5!}} + {{1}\over{15}}{{x^{15}} \over {7!}} + \cdots \right) \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3} \end{align*}$$

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