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ルベーグ積分 📂測度論

ルベーグ積分

ビルドアップ

リーマン積分の一般化を考える前に、単純関数simple functionというものを定義する必要がある。

関数値が非負で、ϕ:RR\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} の値域が有限集合 {a1,a2,,an}\left\{ a_{1} , a_{2}, \cdots , a_{n} \right\} であるとし、Ai=ϕ1({ai})MA_{i} = \phi^{-1} \left( \left\{ a_{i} \right\} \right) \in \mathcal{M} を満たすとき、ϕ\phi単純関数と呼ぶ。単純関数は次の性質を持つ。

  • (i): iji \ne j ならAiAj=A_{i } \cap A_{j} = \emptyset
  • (ii): k=1nAk=R\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} A_{k} = \mathbb{R}
  • (iii): ϕ(x)=k=1nak1Ak(x)\displaystyle \phi (x) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}(x) は測度可能関数である。

ここで、1A\mathbb{1}_{A}指示関数である。

単純関数は、その定義より扱いやすい3つの要素で構成されている。第一に、関数値が非負であるため符号を考える必要がなく、第二に有限であるため自由に足し引きができ、第三に測度可能である。数学の様々な分野で単純simpleという言葉は多様に使われるが、少なくとも実解析においては「複雑」の反対と考えてよい。これだけ扱いやすく便利な単純関数を定義すると、すぐにリーマン積分をカバーする新しい積分を考えることができる。

定義と基本性質

単純関数のルベーグ積分

ϕ\phi が単純関数で EME \in \mathcal{M} としたとき、次を単純関数 ϕ\phiルベーグ積分という。

Eϕdm:=k=1nakm(AkE) \int_{E} \phi dm := \sum_{k=1}^{n} a_{k} m (A_{k} \cap E)

単純関数のルベーグ積分は次の性質を持つ。

  • [1]: 全ての a>0a>0 に対して Eaϕdm=aEϕdm\displaystyle \int_{E} a \phi dm = a \int_{E} \phi dm
  • [2]: 二つの単純関数 ϕ,ψ\phi , \psi に対して ϕψ\phi \le \psi なら EϕdmEψdm\displaystyle \int_{E} \phi dm \le \int_{E} \psi dm
  • [3]: A,BMA, B \in \mathcal{M} に対して AB=A \cap B = \emptyset なら ABϕdm=Aϕdm+Bϕdm\displaystyle \int_{A \cup B} \phi dm = \int_{A} \phi dm + \int_{B} \phi dm

ここで、mmルベーグ測度である。単純関数という条件は非常に強力で特殊であるため、様々な場面で使うことができない。これに区分求積法のアイデアを加えると、ある程度満足のいく「ルベーグ積分」が完成する。

測度可能関数のルベーグ積分 1

ϕ\phi が単純関数であるとき、関数値が非負な測度可能関数 ffEME \in \mathcal{M} に対して、次を測度可能関数 ffルベーグ積分lebesgue Integralという。 Efdm:=sup{Eϕdm  0ϕf}\int_{E} f dm := \sup \left\{ \left. \int_{E} \phi dm \ \right| \ 0 \le \phi \le f \right\}

測度可能関数のルベーグ積分は次の性質を持つ。

  • [1]': 全ての r0r \ge 0 に対して Erfdm=rEfdm\displaystyle \int_{E} r f dm = r \int_{E} f dm
  • [2]': 二つの測度可能関数 f,gf, g に対して fgf \le g なら EfdmEgdm\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm
  • [3]': A,BMA, B \in \mathcal{M} に対して AB=A \cap B = \emptyset なら ABfdm=Afdm+Bfdm\displaystyle \int_{A \cup B} f dm = \int_{A} f dm + \int_{B} f dm
  • [4]': A,BMA, B \in \mathcal{M} に対して ABA \subset B なら AfdmBfdm\displaystyle \int_{A} f dm \le \int_{B} f dm
  • [5]': NNN \in \mathcal{N} なら Nfdm=0\displaystyle \int_{N} f dm = 0
  • [6]': m(E)infEfEfdmm(E)supEf\displaystyle m(E) \inf_{E} f \le \int_{E} f dm \le m(E) \sup_{E} f

これらの基本性質の他に、次のように広く使われる定理を紹介する。

定理

測度空間 (X,E)( X , \mathcal{E} )測度可能関数 f0f \ge 0 と全ての測度可能集合 AEA \in \mathcal{E} に対して Afdm=0    f=0 a.e. \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} ここで、a.e.\text{a.e.}ほぼ至る所を意味する。

証明

(    )( \implies )

E:=f1(0,)E := f^{-1} ( 0 , \infty) に対して m(E)=0m(E) = 0 なら ff はほぼ至る所 f=0f=0 である。証明のために En:=f1[1n,)\displaystyle E_{n} := f^{-1} \left[ {{1} \over {n}} , \infty \right) とおくと E=n=1En\displaystyle E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} であり、limnEn=E\displaystyle \lim_{n \to \infty} E_{n} = E が成り立つ。ここで単純関数 ϕn:=1n1Enf\displaystyle \phi_{n} := {{1}\over {n}} \mathbb{1}_{E_{n}} \le f を考えると 1nm(En)=AϕndmAfdm=0 {{1}\over {n}} m( E_{n} ) = \int_{A} \phi_{n} dm \le \int_{A} f dm = 0 ゆえに 1nm(En)0 {{1} \over {n}} m(E_{n}) \le 0 すなわち、全ての nNn \in \mathbb{N} に対して m(En)=0m(E_{n}) = 0 である。

[7]: EnME_{n} \in \mathcal{M}, EnEn+1    m(n=1En)=limnm(En)\displaystyle E_{n} \subset E_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n})

一方、EnEn+1E_{n} \subset E_{n+1} であるため次が成り立つ。 m(n=1En)=limnm(En)=m(E)=0 m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) = m(E) = 0


(    )( \impliedby )

ff がほぼ至る所 f=0f=0 であり、単純関数 ϕ\phi0ϕf0 \le \phi \le f を満たすため、ϕ\phi もまたほぼ至る所 ϕ=0\phi = 0 である。したがって Afdm=0\displaystyle \int_{A} f dm = 0 である。


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p77. ↩︎