📂測度論

ルベーグ積分

ビルドアップ

リーマン積分の一般化を考える前に、簡単な関数^{simple function}を定義する必要がある。

関数値が非負の$\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の値域が有限集合$\left\{ a_{1} , a_{2}, \cdots , a_{n} \right\}$であるとする。$A_{i} = \phi^{-1} \left( \left\{ a_{i} \right\} \right) \in \mathcal{M}$を満たすなら、$\phi$を簡単な関数と呼ぶ。簡単な関数には以下の特性がある。

• (i): $i \ne j$なら$A_{i } \cap A_{j} = \emptyset$
• (ii): $\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} A_{k} = \mathbb{R}$
• (iii): $\displaystyle \phi (x) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}(x)$は可測関数だ。

簡単な関数は定義から、取り扱いが非常に簡単な3つの要素で構成されている。まず第一に、関数値が非負であるため、符号を考える必要がなく、第二に有限であるために、加算と減算が自由であり、第三に可測だ。数学のさまざまな分野で簡単^simpleという言葉はさまざまな意味で使用されるが、少なくとも実解析では「複雑」の反対と考えてもよいだろう。このように扱いやすく便利な簡単な関数を定義した後、すぐにリーマン積分をカバーする新しい積分を考えることができる。

簡単な関数のルベーグ積分

$\phi$が簡単な関数で、$E \in \mathcal{M}$とするとき、$\displaystyle \int_{E} \phi dm := \sum_{k=1}^{n} a_{k} m (A_{k} \cap E)$を簡単な関数$\phi$のルベーグ積分と呼ぶ。ルベーグ積分には以下の特性がある。

• [1]: すべての$a>0$に対して$\displaystyle \int_{E} a \phi dm = a \int_{E} \phi dm$
• [2]: 二つの簡単な関数$\phi , \psi$に対して$\phi \le \psi$ならば$\displaystyle \int_{E} \phi dm \le \int_{E} \psi dm$
• [3]: $A, B \in \mathcal{M}$に対して$A \cap B = \emptyset$ならば$\displaystyle \int_{A \cup B} \phi dm = \int_{A} \phi dm + \int_{B} \phi dm$

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• $m$はルベーグ測度だ。

しかし、簡単な関数という条件はあまりにも強力で特殊であるため、多くの場所で使うことができない。分割求積法のアイデアのようなものを加えると、ある程度満足できる「ルベーグ積分」が完成する。

定義 ¹

$\phi$が簡単な関数であるとき、関数値が非負の可測関数$f$と$E \in \mathcal{M}$に対して $$\displaystyle \int_{E} f dm := \sup \left\{ \left. \int_{E} \phi dm \ \right| \ 0 \le \phi \le f \right\}$$ を可測関数$f$のルベーグ積分^{lebesgue Integral}と呼ぶ。

基本性質

ルベーグ積分には以下の性質がある。

• [1]’: すべての$r \ge 0$に対して$\displaystyle \int_{E} r f dm = r \int_{E} f dm$
• [2]’: 二つの簡単な関数$f, g$に対して$f \le g$ならば$\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
• [3]’: $A, B \in \mathcal{M}$に対して$A \cap B = \emptyset$ならば$\displaystyle \int_{A \cup B} f dm = \int_{A} f dm + \int_{B} f dm$
• [4]’: $A, B \in \mathcal{M}$に対して$A \subset B$ならば$\displaystyle \int_{A} f dm \le \int_{B} f dm$
• [5]’: $N \in \mathcal{N}$ならば$\displaystyle \int_{N} f dm = 0$
• [6]’: $\displaystyle m(E) \inf_{E} f \le \int_{E} f dm \le m(E) \sup_{E} f$

説明

これらの基本的な性質に加えて、以下のような定理を考えることができる。この定理を使用すれば、$\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} dm = 0$として新鮮な計算も一切れで終わらせることができる。見た目ほど証明は簡単ではないが、一度は見ておく価値があるだろう。

定理

可測空間$( X , \mathcal{E} )$の可測関数$f \ge 0$とすべての可測集合$A \in \mathcal{E}$に対して $$\int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$$

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• $\text{a.e.}$はほとんど至る所を意味する。

証明

$( \implies )$

$E := f^{-1} ( 0 , \infty)$に対して$m(E) = 0$ならば、$f$はほとんど至る所$f=0$だ。$\displaystyle E_{n} := f^{-1} \left[ {{1} \over {n}} , \infty \right)$と仮定して、$\displaystyle E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}$でありながら$\displaystyle \lim_{n \to \infty} E_{n} = E$が成り立つ場合を考える。簡単な関数$\displaystyle \phi_{n} := {{1}\over {n}} \mathbb{1}_{E_{n}} \le f$を考えると $${{1}\over {n}} m( E_{n} ) = \int_{A} \phi_{n} dm \le \int_{A} f dm = 0$$ 従って $${{1} \over {n}} m(E_{n}) \le 0$$ つまり、すべての$n \in \mathbb{N}$に対して$m(E_{n}) = 0$である。

[7]: $E_{n} \in \mathcal{M}$, $\displaystyle E_{n} \subset E_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n})$

一方で$E_{n} \subset E_{n+1}$であるため、次のことが成り立つ。 $$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) = m(E) = 0$$

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$( \impliedby )$

$f$がほとんど至る所$f=0$であり、簡単な関数$\phi$が$0 \le \phi \le f$を満たすため、$\phi$もほとんど至る所$\phi = 0$である。従って$\displaystyle \int_{A} f dm = 0$が真である。

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