📂微分積分学

積分学の基本定理の証明

定理¹

関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続だとしよう。

(1) 関数 $\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ は $[a,b]$ で連続で、$(a,b)$ で微分可能で、$\displaystyle {{dF(x)} \over {dx}} = f(x)$ を満たす。

(2) $f$ の任意の不定積分 $F$ について、$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

説明

もちろん、微分、積分という言葉を使うからには、これらの関係を簡単に推測できる。しかし、英語では differential と integral で全く関係ない上に、概念も特に似ていない。

微積分学の基本定理は、この微分と積分が、実際には互いに逆の演算であることを示している。

証明

(1)

積分の平均値定理により、$\displaystyle f(c) = {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt$ を満たす $c$ が $x, x+h$ の間に存在する。

$h \to 0$ のとき、$c \to x$ になるので、

$$\lim_{h \to 0} {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = \lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$

一方、$\displaystyle F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{x}^{x+h} f(t) dt$ ので、

$${{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = { {F(x+h) - F(x)} \over {h} }$$

従って、

$$\lim_{h \to 0} { {F(x+h) - F(x)} \over {h} } = F ' (x) = f(x)$$

■

(2)

$F$ は $f$ の不定積分なので $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) + C$ となり、

$$\int_{a}^{a} f(t) dt = F(a) + C$$

両辺を引くと、

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$

■

参照

• 解析学における微積分学の基本定理 (1)
• 解析学における微積分学の基本定理 (2)