理想気体の断熱膨張
定理
モル数が$1$で断熱膨張をする理想気体の系において、圧力が$p$、体積が$V$であるとすると、$p V^{\gamma}$は定数である。
このとき、$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$は定圧熱容量と定積熱容量の比率である。
説明
断熱膨張とは、熱エネルギーが変わらない条件での膨張をいう。$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$に物理的な意味は特にない。
証明
$$ d U = \delta Q + \delta W $$
熱力学第一法則により、$dU(T,V)$は完全微分であり、次が成り立つ。
$$ dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV $$
$$ \left< E_{K} \right> = \dfrac{3}{2} k_{B} T $$
気体分子の平均運動エネルギーが上のようになるので、全エネルギーはこれに分子数$N$を掛けたものと等しい。
$$ U = \dfrac{3}{2} N K_{B} T $$
したがって$\dfrac{\partial U}{\partial V} = 0$であり、そして$C_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}$なので、$dU = C_{V} dT$が成り立つ。また、熱エネルギーが変わらないので$\delta Q = 0$である。これを熱力学第一法則に代入すると、次を得る。
$$ C_{V} dT dU = \delta Q + \delta W = \delta W \implies C_{V} dT = \delta W $$
ところで、$\delta W = - p d V$が成り立ち、このときモル数が$n=1$の気体であるとすると、理想気体の状態方程式は$p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{RT}{V}$である。したがって、次の式を得る。
$$ \begin{align*} C_{V} dT =& \delta W \\ =& -pdV \\ =& - \dfrac{RT}{V} dV \end{align*} $$
ここで、$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}} = 1+ \dfrac{R}{C_{V}}$$\implies C_{V}=\dfrac{R}{\gamma -1 }$なので、次を得る。
$$ \begin{align*} & C_{V} dT =& - \dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{R}{\gamma -1 }dT =& -\dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{1}{T}dT =& \dfrac{1-\gamma}{V} dV \end{align*} $$
膨張前の体積と温度を$V_{1}, T_{1}$、膨張後の体積と温度を$V_{2}, T_{2}$として、両辺を積分すると次のようになる。
$$ \begin{align*} & \int _{T_{1}} ^{T_{2}}\dfrac{1}{T}dT =& \int _{V_{1}} ^{V_{2}}\dfrac{1-\gamma}{V} dV \\ \implies && \ln \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& (1 - \gamma) \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \\ \implies && \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& \left( \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \right)^{1-\gamma} \\ \implies && T_{2} V_{2}^{\gamma - 1} =& T_{1} V_{1 }^{\gamma - 1} \end{align*} $$
したがって$TV^{\gamma -1}$は定数である。理想気体の状態方程式から$T = \dfrac{pV}{R}$なので、次を得る。
$$ TV^{\gamma -1} = \dfrac{pV}{R} \cdot V^{\gamma -1} = pV^{\gamma} $$
ゆえに$pV^{\gamma}$は定数である。
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