📂幾何学

平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出

式 ¹

区域 $R$ を囲む平面上の単純で閉じた曲線 $\alpha$ が反時計回りに動くとすると、 $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

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• $V(R)$ は区域 $R$ の体積、つまり$R$ の面積を意味している。

証明

グリーンの定理によれば、反時計回りに部分的にスムーズな単純な平面上の$C^{2}$閉じた曲線$\mathcal{C}$が有界領域$\mathcal{R}$を囲んでいるとしよう。

領域$\mathcal{R}$で定義された二つの関数$P,Q$が$\mathcal{R}$で微分可能であれば、 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$

グリーンの定理に従って、 $$ \begin{align*} \int_{\alpha} x dy =& \int_{\alpha} \left( 0 dx + x dy \right) \\ =& \iint_{R} \left( {{ \partial x } \over { \partial x }} - {{ \partial 0 } \over { \partial y }} \right) dx dy \\ =& \iint_{R} {{ \partial x } \over { \partial x }} dx dy \\ =& \iint_{R} 1 dx dy \\ =& V(R) \end{align*} $$ さらに、 $$ \int_{\alpha} \left( x dy + y dx \right) = \iint_{R} \left( {{ \partial y } \over { \partial y }} - {{ \partial x } \over { \partial x }} \right) dx dy = 0 $$ したがって、次を得る。 $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

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