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平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出 📂幾何学

平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出

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区域 RR を囲む平面上の単純閉じた曲線 α\alpha反時計回りに動くとすると、 V(R)=αxdy=αydx V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx


  • V(R)V(R) は区域 RR体積、つまりRR の面積を意味している。

証明

グリーンの定理によれば、反時計回りに部分的にスムーズ単純な平面上のC2C^{2}閉じた曲線C\mathcal{C}が有界領域R\mathcal{R}を囲んでいるとしよう。

領域R\mathcal{R}で定義された二つの関数P,QP,QR\mathcal{R}で微分可能であれば、 C(Pdx+Qdy)=R(QxPy)dxdy \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy

グリーンの定理に従って、 αxdy=α(0dx+xdy)=R(xx0y)dxdy=Rxxdxdy=R1dxdy=V(R) \begin{align*} \int_{\alpha} x dy =& \int_{\alpha} \left( 0 dx + x dy \right) \\ =& \iint_{R} \left( {{ \partial x } \over { \partial x }} - {{ \partial 0 } \over { \partial y }} \right) dx dy \\ =& \iint_{R} {{ \partial x } \over { \partial x }} dx dy \\ =& \iint_{R} 1 dx dy \\ =& V(R) \end{align*} さらに、 α(xdy+ydx)=R(yyxx)dxdy=0 \int_{\alpha} \left( x dy + y dx \right) = \iint_{R} \left( {{ \partial y } \over { \partial y }} - {{ \partial x } \over { \partial x }} \right) dx dy = 0 したがって、次を得る。 V(R)=αxdy=αydx V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p63. ↩︎