平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出
📂幾何学平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出
式
区域 R を囲む平面上の単純で閉じた曲線 α が反時計回りに動くとすると、
V(R)=∫αxdy=−∫αydx
- V(R) は区域 R の体積、つまりR の面積を意味している。
証明
グリーンの定理によれば、反時計回りに部分的にスムーズな単純な平面上のC2閉じた曲線Cが有界領域Rを囲んでいるとしよう。
領域Rで定義された二つの関数P,QがRで微分可能であれば、
∫C(Pdx+Qdy)=∬R(Qx−Py)dxdy
グリーンの定理に従って、
∫αxdy=====∫α(0dx+xdy)∬R(∂x∂x−∂y∂0)dxdy∬R∂x∂xdxdy∬R1dxdyV(R)
さらに、
∫α(xdy+ydx)=∬R(∂y∂y−∂x∂x)dxdy=0
したがって、次を得る。
V(R)=∫αxdy=−∫αydx
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