📂ルベーグ空間

S-L問題における固有値と固有関数

定義¹

もしシュツルム・リウヴィル微分方程式

$$ \begin{equation} \left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0 \end{equation} $$

が$0$と異なる解$u \in L_{r}^{2}(a,b)$を持つなら、$\lambda$を固有値と言い、それに対応する$u$を固有関数という。

説明

まず、重み関数が$w(x)=1$だとしよう。すると、$(1)$は以下のように書ける。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} && p(x)u^{\prime \prime}(x) +p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)+q(x)u(x)+\lambda u(x) =&\ 0 \\ \implies && -p(x)u^{\prime \prime}(x) -p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)-q(x) =&\ \lambda u(x) \end{aligned} \end{equation} $$

ここで、オペレーター$D:C^{2}[a,b] \to C[a,b]$を次のようにする。

$$ Du(x):=-p(x)\frac{ d ^{2}u(x)}{ d x^{2} }-p^{\prime}(x)\frac{ d u(x)}{ d x }-q(x)u(x) $$

すると、$(2)$は以下のように表せる。

$$ Du =\lambda u $$

$\lambda$をS-L問題での固有値とし、$u$をそれに対応する固有関数とする。