動力学

ある時点の状態がその過去の状態によって表現される系を 力学系 と呼ぶ。例えば、$x_{n}$ が存在し、これがある写像 $f$ に対して
$$x_{n+1} = f(x_{n})$$ のように表される場合、または $x$ の状態がある関数 $g$ に対して
$$\dot{x} = g(x)$$ という微分方程式で表現できる場合を考えることができる。このとき、決定論的な値が得られるシステムを 動的システム と呼び、非決定論的なシステムを 確率過程 と呼ぶ。¹

力学は、このような力学系に対する数学的アプローチとして、数理モデル化やシステムの解析などを含む数学の一分野である。国内での知名度は低いにもかかわらず、物理、化学、生物、ビジネスなどで多彩に応用される大きな分野であり、時空間に対する抽象的な探求はもちろん、実践的な問題解決においても活発に用いられている。

一般力学

• 力学系の厳密な定義

集合と空間

• 軌道と位相ポートレート
  • 初期条件に敏感な依存性
• 不変集合
  • 不変多様体の安定性と不安定性
  • 不変集合のカオス ⚫
• アトラクター
  • アトラクティングセットの引き寄せ領域
  • 自然不変測度 ⚫
  • 🔒(25/03/22) 奇妙なアトラクター ⚫
  • 奇妙だが特徴のないアトラクター ⚫
• 固定点の双曲性
• リミットサイクルの双曲性

写像

• 写像で表される力学系と固定点
  • 写像システムの軌道
• 1次元写像
  • 1次元写像のシンクとソースの判定法
  • 1次元写像のリャプノフ指数
  • シュワルツ微分
  • 1次元写像のカオス ⚫
    • リ・ヨークの定理
    • シャルコフスキーの定理
• 多次元写像
  • 多次元線形写像
  • 多次元非線形写像
  • 多次元写像のリャプノフ指数とその数値計算法 ⚫
  • 多次元写像のカオス ⚫
    • カオス理論における写像の共役 ⚫
  • ポアンカレ再帰定理

微分方程式

• 微分方程式で表される力学系と平衡点
  • 非線形システムの線形化
• フローとタイム-T写像
  • ポアンカレ写像
• 軌道とリミットサイクル
  • ホモクリニック軌道とヘテロクリニック軌道
  • リャプノフ安定性と軌道安定性
  • リャプノフ関数
  • 🔒(25/03/18) 準周期軌道
• 微分方程式で表されるシステムにおける固定点の分類 ● ◐ ○
• 微分方程式で表されるシステムの保存量
• 微分方程式で表されるシステムのオメガ極限集合
  • ベクトル場の正準形
• 2次元システム
  • ベンディクソンの判定法
  • 2次元自律システムにおける周期軌道の不存在
  • ポアンカレ・ベンディクソンの定理：2次元自律システムでは混沌は起こらない ⚫
  • ヌルクライン
• 力学におけるリウヴィルの定理
• ラサル不変原理
• リャプノフ・スペクトラムの定義
  • 変分方程式
  • 線形システムのリャプノフ・スペクトラム
• 微分方程式で表されるシステムのリャプノフ・スペクトラムとその数値計算法
• 固定点を含まない軌道は少なくとも一つの0のリャプノフ指数を持つ
• 微分方程式で表されるシステムのカオス ⚫

分岐理論

• 分岐
  • 力学系間の位相的同値性
• バイパーケーション・ダイアグラム
• ピッチフォーク分岐 (\dot{x} = rx \mp x^{3})
• トランスクリティカル分岐 (\dot{x} = rx - x^{2})
• サドル-ノード分岐 (\dot{x} = r + x^{2})
  • ヒステリシス現象
• ホモクリニック分岐
• ヘテロクリニック分岐
• 無限周期分岐
• ホップ分岐
• 周期倍化分岐
  • フェイゲンバウムの普遍性
• ネイマルク-サッカー分岐
• カオス的転移 ⚫

フラクタル

• 自己相似集合
• コッホ曲線
• フラクタル
  • ハウスドルフ次元
  • 相似次元
  • ボックスカウント次元
  • 相関次元
• 🔒(25/03/04) リドルド・ベイシン
• 🔒(25/03/12) マンデルブロ集合とジュリア集合

数理モデル化

有名なシステム

• 数学における質量作用の法則
• ローレンツ・アトラクター ⚫
• ロイセルラー・アトラクター ⚫
• ダッフィング・オシレーター
• 二重振り子 ⚫
• ロジスティック族 ⚫🟢
• ヘノン写像 ⚫
• 🔒(25/03/08) イケダ写像 ⚫

人口成長

• マルサス成長モデル：理想的な集団成長 🟢
• ロジスティック成長モデル：集団成長の限界 🟢
  • 数理生物学におけるアリー効果 🟢
• ゴンペルツ成長モデル：時間による成長遅延 🟢
• バス拡散モデル：革新と模倣
• ロトカ-ボルテラ捕食者-被食者モデル 🟢
  • ホーリング型関数反応 🟢
  • 食物連鎖システム ⚫🟢
• ロトカ-ボルテラ競争モデル 🟢
• メイ-レナード競争モデル 🟢
• ランチェスターの法則
• 一斉射撃戦闘モデル
• レスリー年齢構造モデル 🟢
• フォン・フュルスター方程式 🟢
• 人口均衡方程式 🟢

疾病拡散

• 疫学区画モデル 🟢
• 伝染病拡散モデルにおける基本再生産数とは? 🟢
• SIRモデル：最も基本的な拡散モデル 🟢
• SISモデル：再感染と慢性疾患 🟢
• SEIRモデル：潜伏期と潜在期 🟢
• SIRVモデル：ワクチンとブレイクスルー感染 🟢
• SIRDモデル：死亡と致死率 🟢
• 性感染症モデル：2集団間の病気伝播 🟢
• 種間伝染モデル：3集団間の病気伝播 🟢
• エイズ伝染モデル 🟢

カップリング

• 結合動的システム
• メタ個体群モデル 🟢
• オイラー移動モデル 🟢
• ラグランジュ移動モデル 🟢
• スロー-ファストシステム

ノンスムースシステム

• ノンスムースシステム
  • 部分ごとにスムーズなシステム PWS
  • 微分包含式 (\dot{x} \in F(x))
• DC-DC降圧コンバータ ⚫
• アトピー性皮膚炎システム 🟢
• 振動衝撃モデル ⚫
• メムリスタ・ヒンドマッシュ-ローズニューロンモデル ⚫🟢
• 🔒(25/03/23) ロッチ写像 ⚫

シミュレーション

セルラーオートマトン

• 力学的モデルシミュレーション

エージェントベースシミュレーション

• エージェントベースシミュレーションの第一歩：散布図で表す
• エージェントベースモデルシミュレーションにおける繁殖
• エージェントベースモデルシミュレーションにおける死亡

格子モデルシミュレーション

• 格子モデルシミュレーションの第一歩：ヒートマップで表す
• 格子モデルシミュレーションにおける拡散

主な参考文献

• Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology
• Ottar N. Bjørnstad. (2018). Epidemics Models and Data using R
• Capasso. (1993). Mathematical Structures of Epidemic Systems
• Guckenheimer. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields
• Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition)
• Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition)
• Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems
• Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition)