動力学

ある時点の状態がその過去の状態で表現される系を、力学系（または動力学系）と呼びます。例えば、$x_{n}$ があるとき、これがある写像 $f$ に対して $x_{n+1} = f(x_{n})$ と表せる場合、または $x$ の状態がある関数 $g$ に対して $\dot{x} = g(x)$ と微分方程式で表せる場合を考えることができます。このとき、決定論的な値が求められるシステムを動的システムと呼び、非決定論的なシステムを確率過程と呼びます。¹

力学は、このような力学系に対する数学的アプローチであり、数理的モデリングやシステムの解析などを含む数学の一分野です。国内での認知度は低いものの、物理、化学、生物、ビジネスなどで多彩に応用される大きな分野で、時空間に関する抽象的な探求はもちろん、実践的な問題解決でも活発に使用されています。

マーク	細分類
⚫	カオス
🟢	バイオ

一般力学

力学系の厳密な定義

集合と空間

写像

微分方程式

分岐理論

分岐
- 力学系間の位相的同値
分岐図
ピッチフォーク分岐 $\dot{x} = rx \mp x^{3}$
🔒(24/10/13) トランスクリティカル分岐 $\dot{x} = rx - x^{2}$
🔒(24/10/17) サドルノード分岐 $\dot{x} = r + x^{2}$
- 🔒(24/10/21) ヒステリシス現象
🔒(24/11/06) ホモクリニック分岐
🔒(24/11/10) ヘテロクリニック分岐
🔒(24/11/14) 無限周期分岐
🔒(24/11/18) ホップ分岐
🔒(24/11/30) 周期倍分岐
- 🔒(24/12/08) ファイゲンバウムの普遍性
🔒(24/12/04) ネイマーク・サッカー分岐
カオスへのトランジション ⚫

数理的モデリング

人口成長

マルサス成長モデル：理想的な集団成長 🟢
ロジスティック成長モデル：集団成長の限界 🟢
- 数理生物学におけるアリー効果 🟢
ゴンペルツ成長モデル：時間による成長遅延 🟢
バス拡散モデル：革新と模倣
ロトカ・ヴォルテラ捕食者-被食者モデル 🟢
- 🔒(25/01/07) ホリング型関数反応 🟢
- 🔒(25/01/11) 食物連鎖システム ⚫🟢
ロトカ・ヴォルテラ競争モデル 🟢
メイ・レナード競争モデル 🟢
ランチェスターの法則
一斉射撃戦闘モデル
レスリーの年齢構造モデル 🟢
フォン・フォルスター方程式 🟢
人口均衡方程式 🟢

疾病拡散

カップリング

非スムーズシステム

シミュレーション

セルオートマトン

力学的モデルのシミュレーション

エージェントベースシミュレーション

格子モデルシミュレーション

主要参考文献

Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology
Ottar N. Bjørnstad. (2018). Epidemics Models and Data using R
Capasso. (1993). Mathematical Structures of Epidemic Systems
Guckenheimer. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields
Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition)
Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition)
Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems
Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition)

Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p2. ↩︎

全體ポスト