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L1空間 📂ルベーグ空間

L1空間

定義1

次のように関数空間L1L^{1}を定義する。

L1(E):={f:EREfdm<} L^{1} (E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} \Big \vert \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\}

性質

  1. L1L^{1}ベクトル空間だ。
  2. L1L^{1}ノルム空間だ。ノルムは以下のように定義される。 f1:=f(x)dx \left\| f \right\|_{1} := \int \left| f(x) \right| dx
  3. L1L^{1}完備空間だ。

説明

L1L^{1}空間はLpL^{p}空間p=1p=1の時の特別なケースであり、ルベーグ可積分について話す時に、可積分な関数の集まりとして定義された。

LpL^{p}空間に関する一般化された証明はここを参照。

証明

2.

ノルムの定義

VVF\mathbb{F}上のベクトル空間としよう。関数:VF\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}u,vV\mathbf{u}, \mathbf{v} \in VkFk \in \mathbb{F}に対して以下の三つの条件を満たすなら、\left\| \cdot \right\|を**VV上のノルム**と定義する。

  • 正定値性: u0\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0かつu=0    u=0\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0
  • 斉次性: ku=ku\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\|
  • 三角不等式: u+vv+u\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|

L1L ^{1}のノルムをf1:=Efdm\displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dmとして定義しよう。

  • Part 1. 正定値性

    f0| f | \ge 0より、ほとんど至る所でf=0f = 0ならばf1=0\left\| f \right\|_{1} = 0である。逆に、f1=0\left\| f \right\|_{1} = 0ならば、ほとんど至る所でf=0f = 0でなければならない。

  • Part 2. 斉次性

    cf1=Ecfdm=cEfdm=cf1\left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1}

  • Part 3. 三角不等式

    f+g1=Ef+gdmEfdm+Egdm=f1+g1 \left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1}

3.

完備性

ベクトル空間XXに対して、ノルムX\left\| \cdot \right\|_{X}が定義されているとしよう。すべてのε>0\varepsilon > 0に対して n,mN    fnfmX<εn, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon NNN \in \mathbb{N}が存在するなら、数列fnXf_{n} \in Xコーシー数列と言う。もしすべてのコーシー数列がXXの要素に収束するなら、XX完備と言う。

fnL1f_{n} \in L^{1}がコーシー数列なら

fnfN11<12 \left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}}

N1N_{1}が存在し、同様に

fnfN21<122 \left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}}

N2>N1N_{2} > N_{1}が存在する。この方法で fnfNn1<12n \left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} Nn>Nn1N_{n} > N_{n-1}が存在する。三角不等式により fNnfNn11<fNnfn1+fnfNn11<12n+12n1<32n \left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}}

レヴィの定理

k=1fkdm<\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \inftyならばk=1fk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)ほとんど至る所では収束し、以下が成立する。

k=1fkdm=k=1fkdm \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm

レヴィの定理により、n=1fNnfNn11\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1}は収束する。したがって、以下はほとんど至る所で収束する。

fN1(x)+n=2k[fNn(x)fNn1(x)]=fNk f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}}

ここで、右辺がf(x)f(x)に収束するとすれば、右辺のfNk(x)f_{N_{k}} (x)f(x)f(x)に収束する。

ファトゥの補助定理

関数値が非負の可測関数数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}に対して

E(lim infnfn)dmlim infnEfndm \displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

ファトゥの補助定理により、

ffn1=ffndmlim infkfNkfndm=lim infkfNkfn<ε \begin{align*} \left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{n}| dm \\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{n}| dm \\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{n} \right\| \\ \lt& \varepsilon \end{align*}

fnf_{n}がコーシー数列であるため、任意のε>0\varepsilon > 0に対して上記の不等式が成立し、したがってfnf10\left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0である。要約すると、fnf_{n}がコーシーで、その部分数列がffに収束するので、fnf_{n}ffに収束する。ここで、ffnL1f - f_{n} \in L^{1}であり、L1L^{1}がベクトル空間なので、

(ffn)+fn=fL1 ( f - f_{n} ) + f_{n} = f \in L^{1}

L1L^{1}のすべてのコーシー数列がL1L^{1}の要素に収束するので、L1L^{1}は完備空間である。

参照


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p127. ↩︎