L1空間
📂ルベーグ空間L1空間
定義
次のように関数空間L1を定義する。
L1(E):={f:E→R∫E∣f∣dm<∞}
性質
- L1はベクトル空間だ。
- L1はノルム空間だ。ノルムは以下のように定義される。
∥f∥1:=∫∣f(x)∣dx
- L1は完備空間だ。
説明
L1空間はLp空間のp=1の時の特別なケースであり、ルベーグ可積分について話す時に、可積分な関数の集まりとして定義された。
Lp空間に関する一般化された証明はここを参照。
証明
2.
ノルムの定義
VをF上のベクトル空間としよう。関数∥⋅∥:V→Fがu,v∈Vとk∈Fに対して以下の三つの条件を満たすなら、∥⋅∥を**V上のノルム**と定義する。
- 正定値性: ∥u∥≥0かつu=0⟺∥u∥=0
- 斉次性: ∥ku∥=∣k∣∥u∥
- 三角不等式: ∥u+v∥≤∥v∥+∥u∥
L1のノルムを∥f∥1:=∫E∣f∣dmとして定義しよう。
Part 1. 正定値性
∣f∣≥0より、ほとんど至る所でf=0ならば∥f∥1=0である。逆に、∥f∥1=0ならば、ほとんど至る所でf=0でなければならない。
Part 2. 斉次性
∥cf∥1=∫E∣cf∣dm=∣c∣∫E∣f∣dm=∣c∣∥f∥1
Part 3. 三角不等式
∥f+g∥1=∫E∣f+g∣dm≤∫E∣f∣dm+∫E∣g∣dm=∥f∥1+∥g∥1
■
3.
完備性
ベクトル空間Xに対して、ノルム∥⋅∥Xが定義されているとしよう。すべてのε>0に対して
n,m≥N⟹∥fn−fm∥X<ε
N∈Nが存在するなら、数列fn∈Xをコーシー数列と言う。もしすべてのコーシー数列がXの要素に収束するなら、Xを完備と言う。
fn∈L1がコーシー数列なら
∥fn−fN1∥1<21
N1が存在し、同様に
∥fn−fN2∥1<221
N2>N1が存在する。この方法で
∥fn−fNn∥1<2n1
Nn>Nn−1が存在する。三角不等式により
∥fNn−fNn−1∥1<∥fNn−fn∥1+∥fn−fNn−1∥1<2n1+2n−11<2n3
レヴィの定理
k=1∑∞∫∣fk∣dm<∞ならばk=1∑∞fk(x)はほとんど至る所では収束し、以下が成立する。
∫k=1∑∞fkdm=k=1∑∞∫fkdm
レヴィの定理により、n=1∑∞∣fNn−fNn−1∣1は収束する。したがって、以下はほとんど至る所で収束する。
fN1(x)+n=2∑k[fNn(x)−fNn−1(x)]=fNk
ここで、右辺がf(x)に収束するとすれば、右辺のfNk(x)もf(x)に収束する。
ファトゥの補助定理
関数値が非負の可測関数の数列{fn}に対して
∫E(n→∞liminffn)dm≤n→∞liminf∫Efndm
ファトゥの補助定理により、
∥f−fn∥1=≤=<∫∣f−fn∣dmk→∞liminf∫∣fNk−fn∣dmk→∞liminf∥fNk−fn∥ε
fnがコーシー数列であるため、任意のε>0に対して上記の不等式が成立し、したがって∥fn−f∥1→0である。要約すると、fnがコーシーで、その部分数列がfに収束するので、fnはfに収束する。ここで、f−fn∈L1であり、L1がベクトル空間なので、
(f−fn)+fn=f∈L1
L1のすべてのコーシー数列がL1の要素に収束するので、L1は完備空間である。
■
参照