シグマ代数と可測空間
定義
集合 $X \ne \emptyset$ に対して以下の条件を満たす $\mathcal{E} \subset \mathscr{P} (X)$ を $X$ 上の シグマ代数sigma Algebra または シグマフィールドと呼ぶ。集合 $X$ とシグマフィールド $\mathcal{E}$ の順序対 $(X , \mathcal{E})$ を 可測空間measurable spaceという。
- (i): $\emptyset \in \mathcal{E}$
- (ii): $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
- (iii): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
- (iv): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
説明
ある空間 $X$ に対してシグマフィールド $\mathcal{E}$ が与えられていれば $(X , \mathcal{E})$ を 可測空間と呼ぶ。測度 $\mu$ が与えられていれば $(X , \mathcal{E} , \mu)$ を測度空間と呼び、特に測度 $\mu$ が確率測度であれば確率空間と呼ぶ。
同じ概念だが、数学では シグマ代数、統計学では シグマフィールド という名前で呼ばれると考えればよい。
カラテオドリの条件: $E \subset \mathbb{R}$ が $A \subset \mathbb{R}$ に関して $m^{ \ast }(A) = m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$ を満たすとき $E$ を 可測集合measurable set と呼び、$E \in \mathcal{M}$ のように書く。
「可測集合」という名前は文字通り長さを測ることができる集合という意味を持つ。外測度の可算準加法性により $$m^{ \ast }(A) \le m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ は自明であるので、ある集合が可測かを確認することは $$m^{ \ast }(A) \ge m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ かを確認するのと同じことである。
可測集合族のシグマ代数
上の定義において $X = \mathbb{R}$ の可測集合からなる集合 $\mathcal{M}$ は次の性質を持つシグマ代数になる。
$\mathcal{M}$ は下記の性質を持つシグマ代数である。
- [1]: $$ \emptyset \in \mathcal{M} $$
- [2]: $$ E \in \mathcal{M} \implies E^{c} \in \mathcal{M} $$
- [3]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [4]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [5]: $$ \mathcal{N} \subset \mathcal{M} $$
- [6]: $$ \mathcal{I} \subset \mathcal{M} $$
- [7]: $E_{i} , E_{j} \in \mathcal{M}$ とすると次が成り立つ。 $$ E_{i} \cap E_{j} = \emptyset , \forall i \ne j \implies m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n = 1} ^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n}) $$
- $\mathcal{I}$ はすべての区間の集合、$\mathcal{N}$ はすべての零集合の集合である。
特に [7] はルベーグが夢に見た「長さの一般化」に必須の性質であることに注目せよ。